Invers Kiri dan Kanan Matriks


Apabila berbicara tentang invers matriks, maka kita perlu pahami syarat cukup suatu matriks mempunyai invers, karena tidak semua matriks mempunya invers. Matriks seperti apa yang mempunyai invers? Yaitu matriks yang determinannya tidak sama dengan nol. Secara umum matriks A_{n \times n} merupakan invers dari matriks B_{n \times n} jika dan hanya jika AB = I_n = BA. Perhatikan matriks berikut ini,

Contoh 1.

A = \begin{pmatrix} 1&2\\ 1&3\\ 4&7 \end{pmatrix} dan B = \begin{pmatrix} 3&-2&0\\ -1&1&0 \end{pmatrix}.

AB = \begin{pmatrix} 1&2\\ 1&3\\ 4&7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3&-2&0\\ -1&1&0 \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 5&-1&0 \end{pmatrix}.

BA = \begin{pmatrix} 3&-2&0\\ -1&1&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&2\\ 1&3\\ 4&7 \end{pmatrix}.

= \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix} = I_2.

Jadi, B adalah invers kiri dari matriks A tapi B bukan invers kanan dari A. Baca lebih lanjut

Iklan

Determinan Matriks dengan Metode Inversi


Fungsi adalah pemetaan setiap anggota suatu himpunan (domain) ke anggota himpunan yang lain (kodomain). Dengan kata lain, tidak ada anggota domain yang tidak dipetakan ke anggota kodomain. Tetapi boleh jadi, ada anggota kodomain yang tidak memiliki pasangan dengan anggota domain. Seperti yang telah diketahui bahwa, ada beberapa jenis fungsi, yaitu Fungsi Injektif (Satu-Satu), Fungsi Serjektif (Pada) dan Fungsi Bijektif (Satu-Satu dan Pada).

Selanjutnya, pemetaan dari himpunan tak kosong A kedirinya sendiri dinamakan Permutasi. Lebih jauh, jika diberikan himpunan A = \{ 1, 2, \ldots , n \}, maka permutasi dapat ditulis sebagai

\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \ldots & n\\ i_1 & i_2 & \ldots & i_n \end{pmatrix}

Atau dapat ditulis juga sebagai \sigma = \{ i_1, i_2, \ldots , i_n \} dengan i_1, i_2, \ldots , i_n adalah n bilangan yang berbeda.

Misal diberikan n = 3, maka

S_3 = \{(1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2), (3,2,1) \}

memuat enam permutasi. Catat bahwa (3,1,3) tidak termuat di permutasi S_3 karena entri-entrinya tidak berbeda semua. Sama halnya dengan (1,2,2) bukan merupakan anggota S_3. Secara umum, banyak anggota dari S_n adalah n! = n(n-1) \cdots 2 \cdot 1. Sebelum memasuki bagaimana menghitung determinan suatu matriks, terlebih dahulu akan diberikan definisi dari Inversi. Berikut definisinya, Baca lebih lanjut

Daerah Integral


Secara umum jika dua bilangan pada bilangan riil (lapangan) dan hasil kalinya sama dengan nol, maka salah satu bilangan tersebut pasti ada yang nol. Tetapi pada ring R tidak berlaku demikian. Misal diberikan ring \mathbb{Z}_6 dengan operasi penjumlahan dan perkalian biasa. Pilih [2], [3] \in \mathbb{Z}, maka diperoleh [2] \cdot [3] = [0], padahal [2],[3] \neq [0]. Tetapi di sisi lain berlkau juga [0] \cdot [1] = [0], [0] \cdot [2] = [0], dst. Oleh karena itu, muncul definisi dari Elemen Pembagi Nol. Berikut diberikan definisinya.

Definisi 1.

Misalkan R suatu ring dan a \in R, a \neq 0 maka

1.  a disebut elemen pembagi nol kiri jika \exists b \in R, b \neq 0 sedemikian hingga ab = 0

2.  a disebut elemen pembagi nol kanan jika \exists b \in R, b \neq 0 sedemikian hingga ba = 0

Dapat disimpulkan, pembagi nol adalah jika pada suatu ring R, a \in R, a \neq 0 dan \exists b \in R, b \neq 0 sedemikian hingga ab = ba = 0. Selanjutnya, a bukan elemen pembagi nol jika \forall b \in R, b \neq 0, ab \neq 0. Apabila R mempunyai elemen satuan e, maka e bukan pembagi nol, karena \forall b \in R, be = eb = b. Baca lebih lanjut

Subruang Vektor


Setelah membahas ruang vektor, pada kesempatan ini akan dibahas subruang vektor. Jika dipunyai ruang vektor V, maka \{0\} pasti memenuhi aksioma ruang vektor. Jadi, jika dipunyai ruang vektor V dan subhimpunan tak kosong W \subseteq V dan W memenuhi aksioma sebagai ruang vektor, maka W dinamakan subruang vektor. Oleh karena itu, didefinisikan subruang vektor.

Definisi 1.

Diberikan V ruang vektor dan W subhimpunan tak kosong dari V. Subhimpunan W disebut subruang vektor dari V jika W merupakan ruang vektor terhadap operasi yang sama terhadap V.

Apakah setiap ingin mengecek suatu subhimpunan merupakan subruang vektor harus mengecek 10 aksioma dari ruang vektor? Tidak. Lalu bagaimana caranya? Perlu diperhatikan bahwa, misal diketahui V ruang vektor dan W \subseteq V, maka sifat asosiatif pada ruang vektor V akan diwariskan atau akan secara otomatis berlaku pada subhimpunan W, begitu juga untuk sifat komutatif terhadap operasi ‘penjumlahan’. Selanjutnya karena elemen identitas di V adalah tunggal, maka elemen identitas juga ada di W. Selanjutnya karena setiap anggota ruang vektor V memiliki invers, berakibat setiap anggota di W juga pasti punya invers. Dengan alasan yang sama, aksioma yang lain juga pasti diwariskan dari V ke subhimpunan W. Sehingga untuk mengecek suatu subhimpunan merupakan subruang dari suatu ruang vektor tidak harus mengecek semua aksioma, berikut diberikan teorema subruang. Baca lebih lanjut

Invers Matriks Menggunakan Adjoint


Pada blog ini saya sudah menulis bagaimana mencari matriks dengan dua cara yang berbeda, yang pertama menggunakan Operasi Baris Elementer, yaitu dengan membentuk matriks augmentasinya kemudian dilakukan OBE dan cara yang kedua dengan memanfaatkan sifat AB = BA = I di mana B sebagai invers matriks A dan I matriks identitas, yang selanjutnya diselesaikan menggunakan eliminasi (baca di sini). Pada tulisan ini, saya mencoba memanfaatkan matriks adjoint. Apa itu matriks adjoint ? Matriks adjoint itu adalah transpose dari Matriks Kofaktor. Misal $latex A4 adalah suatu matriks yang memiliki invers, maka

A^{-1} = \dfrac{1}{det(A)} Adj(A)

Jadi, dalam menggunakan metode ini, untuk mencari invers suatu matriks, yang dibutuhkan adalah Determinan Matriks itu sendiri dan Adjoin Matriks. Perhatikan contoh berikut.

Contoh 1.

Tentukan invers matriks dari A = \begin{bmatrix} 2&-1&3\\ 0&4&5\\ 2&1&4 \end{bmatrix}.

Karena A matriks 3 \times 3, maka untuk mudahnya dalam menentukan determinan, digunakan Metode Sarrus. Baca lebih lanjut

Sifat-Sifat Ring


Pada tulisan ini akan diberikan beberapa sifat ring.

Teorema 1.

Diberikan ring R dan a,b,c \in R. Maka

a.  a0 = 0a = 0

b.  a(-b) = (-a)b = -ab

c.  (-a)(-b) = ab

d.  a(b-c)=ab-ac dan (b-c)a = ba-ca

Bukti.

Ambil sebarang a,b,c \in R.

a.  Dari sifat distributif ring, diperoleh a0+a0 = a(0+0). Karena sifat 0 pada penjumlahan, berbakibat a0+a0 = a0. Karena a0 \in R, berakibat -a0 \in R. Diperoleh

(a0+a0)+(-a0)=a0+(-a0)

a0+(a0+(-a0))=0

a0+0=0

a0=0

Dengan, cara yang sama diperoleh 0a=0. Baca lebih lanjut

Invers Matriks (2)


Sebenarnya saya sudah menulis tentang Invers Matriks ini, pada tulisan sebelumnya saya memanfaatkan Operasi Baris Elementer. Pada tulisan ini saya mencoba menulis kembali bagaimana mencari invers dengan cara berbeda dari tulisan sebelumnya. Tapi pada dasarnya kedua cara ini hampir sama, karena sama-sama berlandaskan eliminasi. Untuk kalian yang belum pernah mendapatkan Operasi Baris Elementer, tentu cara ini lebih mudah dipahami. Baiklah, seperti yang kita tahu bahwa suatu matriks dapat dibalik jika dan hanya jika matriks tersebut adalah matriks persegi (matriks yang berukuran n x n) dan matriks tersebut non-singular (determinan \neq 0). Oleh karena itu, tidak semua matriks memiliki invers. Matriks yang seperti apa yang memiliki invers? Yaitu matriks kuadrat A dikatakan memiliki invers matriks B jika AB = B A = I. Selanjutnya matriks A dikatakan yang dapat dibalik (invertible) dan B dinamakan invers dari A. Perhatikan contoh berikut

Contoh 1.

Hitung invers matriks A_{2\times 2} berikut \begin{bmatrix} 3&5\\1&2\\ \end{bmatrix}. Baca lebih lanjut

Sifat Ruang Vektor


Pada tulisan ini akan dibahas sebuah teorema ruang vektor, yaitu sebagai berikut.

Teorema 1.

Diberikan V ruang vektor atas lapangan F dan misal 0_V adalah nol vektor. Maka

1.  a0_V = 0_v untuk setiap a \in F

2.  0x=0 untuk setiap x \in V dan 0 \in F

3.  (-a)x = a(-x) untuk setiap a \in F dan setiap x \in V

4.  a(x-y) = ax-ay untuk setiap a \in F dan x,y \in V

5.  Jika ax=0_V maka a=0 atau x=0_V dengan a \in F dan x \in V

6.  Jika ax=bx maka a=b untuk a,b \in F dan vektor tak nol x \in V

7.  Jika ax=ay maka x=y untuk x,y \in V dan skalar tak nol a \in F

Bukti.

1.  Ambil sebarang a \in F. Perhatikan bahwa a0_V = a(0_V+0_V), berakibat a0_V = a0_V+a0_V. Karena a0_V \in V (pandang V sebagai grup), maka terdapat -a0_V \in V. Sehingga diperoleh

-a0_V + a0_V = -a0_V + (a0_V + a0_V)

-a0_V + a0_V = (-a0_V + a0_V) + a0_V

0_V = 0_V + a0_V

0_V = a0_V Baca lebih lanjut