Ring


Pada tulisan sebelumnya sudah dibahas tentang sistem matematika dengan satu operasi biner yang memenuhi aksioma tertentu, yaitu Grup. Selanjutnya, terdapat sistem matematika dengan dua operasi biner yaitu penjumlahan dan perkalian, yakni dinamakan Ring. Misal dipunyai himpunan R tak kosong dengan operasi biner + dan \cdot, R disebut Ring jika memenuhi beberapa aksioma yaitu R terhadap operasi + merupakan Grup Komutatif dan R terhadap operasi \cdot bersifat asosiatif serta R terhadap operasi + dan \cdot bersifat distributif, baik kiri maupun kanan. Berikut diberikan definisi lengkapnya.

Definisi 1.

Misal R adalah himpunan tak kosong dengan dua operasi biner, yaitu operasi penjumlahan + dan perkalian \cdot. Maka R adalah ring jika memenuhi:

a.  Untuk setiap a,b,c \in R berlaku (a+b)+c=a_(b+c).

b.  Terdapat elemen identitas e \in R sedemikian hingga a+0=0+a=a untuk setiap a \in R.

c.  Untuk setiap a \in R, terdapat a^{-1} \in R sedemikian hingga a+a^{-1} = a^{-1}a = e.

d.  Untuk setiap a,b \in R berlaku a+b=b+a.

e.  Untuk setiap a,b,c \in R berlaku (a \cdot b ) \cdot c = a \cdot (b \cdot c).

f.  Untuk setiap a,b,c \in R berlaku a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c dan (b + c) \cdot a = b \cdot a + c \cdot a.

Contoh ring yang paling terkenal adalah bilangan bulat \mathbb{Z}, rasional \mathbb{Q}, riil \mathbb{R} dan kompleks \mathbb{C} terhadap operasi penjumlahan dan perkalian biasa. Baca lebih lanjut

Ruang Vektor


Definisi 1.

Diberikan (F,+,\cdot) adalah sebarang lapangan dan misalkan V suatu himpunan tak kosong V disebut ruang vektor atas F jika terdapat operasi biner + (penjumlahan vektor dan \cdot (perkalian skalar) sehingga untuk setiap u,v,w \in V dan \alpha, \beta \in F memenuhi aksioma-aksioma di bawah ini.

1.  Tertutup dibawah penjumlahan vektor

u+v \in V

2.  Asosiatif

u + (v + w) = (u + v) + w

3.  Terdapat identitas penjumlahan

\exists 0_V \in V \ni 0_V + u = u + 0_V

4.  Terdapat invers penjumlahan

\forall u \in V, \exists -u \in V \ni u+(-u) = (-u)+u = 0_V

5.  Komutatif

u + v = v + u

6.  Tertutup dibawah perkalian skalar

\alpha u \in V

7.  Distributif

\alpha (u+v) = \alpha u + \alpha v

8.  Distributif

(\alpha + \beta)u = \alpha u + \beta u

9.  \alpha(\beta u) = (\alpha \beta)u

10.1_F \cdot u = u

Jika diperhatikan aksioma 1 sampe aksioma 5 merupakan aksioma-aksioma Grup Komutatif. Perlu diperhatikan juga bahwa operasi yang ada pada ruang vektor ini ada empat. Yang pertama, operasi penjumlahan “+” pada vektor itu sendiri. Kedua, ada penjumlahan pada lapangan (skalar). Selanjutnya ada operasi perkalian “\cdot” antar skalar. Dan yang terakhir operasi perkalian antar vektor dan skalar. Oleh karena itu, perlu hati-hati dalam mengecek apakah suatu himpunan termasuk ruang vektor atau bukan. Baca lebih lanjut

Isomorfisma Grup


Definisi 1.

Diberikan grup G dan G_1. Homomorfisma f : G \to G_1 disebut epimorfisma jika f fungsi pada (surjektif) pada G_1 dan f disebut monomorfisma jika f fungsi satu-satu (injektif).

Contoh 2.

Diberikan grup R^* yaitu grup bilangan riil tak nol terhadap operasi perkalian. Didefinisikan f : R^* \to R^* dengan f(a)=|a|. Apakah f epimorfisma atau monomorfisma ?

Ambil sebarang a,b \in R^*. Diperoleh

f(ab) = |ab| = |a||b| = f(a)f(b).

Jadi, f homomorfisma. Selanjutnya akan diselidiki apakah f epimorfisma atau monomorfisma. Karena f(1)=1 dan f(-1)=1. Beakibat terdapat 1,-1 \in R^* yang 1 \neq -1 sedemikian hingga f(1)=f(-1). Jadi, f bukan monomorfisma.

Dari definisi f(a)=|a|, jelas terlihat bahwa tidak mungkin menemukan pasangan di domain jika mengambil -1 \in R^* di kodomain. Jadi, f bukan epimorfisma. \square Baca lebih lanjut

Homomorfisma Natural


Perhatikan contoh berikut ini. Diberikan S_3 dan subgrup normal H = \left\{ \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 1&2&3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 2&3&1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 3&1&2 \end{pmatrix} \right\}.

Didefinisikan f : S_3 \to S_3/H oleh f(\alpha) = \alpha H untuk setiap \alpha \in S_3. Perhatikan bahwa

f(\alpha \circ \alpha') = (\alpha \circ \alpha')H = (\alpha H) \circ (\alpha' H) = f(\alpha) \circ f(\alpha')

Untuk sebarang \alpha, \alpha' \in S_3. Oleh karena itu, f homomorfisma. Lebih jauh

Ker(f) = \{ \alpha \in S_3 | \alpha H = H \} = \{ \alpha \in S_3 | \alpha \in H \} = H

Dari contoh tersebut, dapat dilihat bahwa jika dipunyai grup dan subgrup normal, selalu dapat dibentuk grup faktor. Selanjutnya pasti dapat dibentuk homomorfisma dari grup ke grup faktor, di mana homomorfisma yang demikian itu dinamakan Homomorfisma Natural. Dan lebih jauh, kernel dari homomorfisma sama dengan subgrup normalnya. Sehingga diperoleh teorema sebagai berikut.

Teorema 1.

Diberikan H subgrup normal dari G. Didefinisikan fungsi g dari G ke grup faktor G/H oleh g(a)=aH untuk setiap a \in G. Maka g merupakan homomorfisma dan Ker(g)=H. (Homomorfisma g disebut Homomorfisma Natural dari G ke G/H)

Bukti.

Ambil sebarang a,b \in G. Akan dibuktikan g homomorfisma. Perhatikan

g(ab) = (ab)H = (aH)(bH) = g(a)g(b).

Oleh karena itu, g merupakan homomorfisma. Selanjutnya akan dibuktikan Ker(g)=H. Sekarang perhatikan

a \in Ker(g) \Leftrightarrow g(a)=eH

\Leftrightarrow aH=eH

\Leftrightarrow e^{-1}a \in H

\Leftrightarrow a \in H

Oleh karena itu, Ker(g) = H. \blacksquare

Kernel dan Image Homomorfisma Grup


Selanjutnya telah diketahui bahwa homomorfisma f dari G ke G_1 selalu memetakan e \in G ke e_1 \in G_1. Tetapi ada juga anggota lain di G yang dipetakan ke e_1. Sehingga apabila dihimpun anggota-anggota di G yang dipetakan ke e_1, akan membentuk definisi baru yang memiliki struktur. Berikut diberikan definisi

Definisi 1.

Diberikan f : G \to G_1 homomorfisma grup, maka kernel dari f, dinotasikan Ker(f), didefinisikan sebagai berikut.

Ker(f) = f^{-1}(e_1) = \{ a \in G| f(a)=e_1 \}

dengan e_1 identitas di G_1.

Contoh 2.

Diberikan homomorfisma grup f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_8 dengan definisi f(a) = a \mod 8. Tentukan kernel dari f.

Ker(f) = \{ a \in \mathbb{Z} | f(a)=[0] \}

= \{ a \in \mathbb{Z} | a \mod 8 = [0] \}

= \{ a \in \mathbb{Z} | a = 8n, n \in \mathbb{Z} \}

= \{ 8n | n \in \mathbb{Z} \}

= 8\mathbb{Z}. \square Baca lebih lanjut

Homomorfisma Grup


Pada tulisan ini akan berfokus pada pemetaan antar grup. Pemetaan ini akan didefinisikan dengan mempertahankan (mengawetkan) struktur aljabar yaitu grup. Lebih jauh, misal diberikan fungsi f dari grup G ke grup G_1 dengan * dan *_1 merupakan operasi pada G dan G_1.

Sebagai contoh, diberikan fungsi f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+ yang didefinisikan f(a) = e^a untuk setiap a \in \mathbb{R}. Perhatikan, ambil sebarang a,b \in \mathbb{R}

f(a+b) = e^{a+b} = e^a \cdot e^b = f(a) \cdot f(b)

Jadi, f(a+b) = f(a) \cdot f(b).

Contoh tersebut merupakan motivasi dari definisi homomorfisma grup.

Definisi 1.

Diberikan grup (G,*) dan (G_1,*_1) serta f fungsi dari G ke G_1. Maka f disebut homomorfisma jika untuk setiap a,b \in G, berlaku

f(a*b) = f(a) *_1 f(b)

Identitas pada grup G dan G_1 berturut-turut dinotasikan dengan e dan e_1.

Setiap pemetaan dari grup G dan G_1 pasti dapat ditemukan homomorfisma. Karena setiap grup pasti memiliki elemen identitas maka G_1 identitasnya e_1. Definisikan f : G \to G_1 dengan f(a)=e_1 untuk semua a \in G. Perhatikan,

f(a*b) = e_1 = e_1 *_1 e_1 = f(a) *_1 f(b)

Jadi, f merupakan homomorfisma dari G ke G_1. Baca lebih lanjut

Grup Faktor


Pada tulisan sebelumnya tentang Subgrup Normal, jika diberikan grup S_3 dan subgrup H = \left\{ \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 1&2&3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 2&1&3 \end{pmatrix} \right\}, telah diketahui bahwa H bukan subgrup normal dari S_3. Dengan kata lain bahwa, terdapat koset kiri yang tidak sama dengan koset kanan. Sehingga apabila dihimpun semua koset kiri H dari S_3, yaitu

S_3/H = \{ aH ~|~ a \in S_3 \} = \left\{ H, \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 1&2&3 \end{pmatrix} H, \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 2&1&3 \end{pmatrix} H \right\}

Kemudian didefiniskan operasi “*” pada S_3/H yaitu untuk sebarang aH, bH \in S_3/H dengan definisi (aH)(bH) = (ab)H. Apakah operasi * pada S_3/H well defined ?

Diketahui bahwa \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 3&2&1 \end{pmatrix} H = \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 2&3&1 \end{pmatrix} H dan \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 1&3&2 \end{pmatrix} H = \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 3&2&1 \end{pmatrix} H. Menggunakan definisi di atas, diperoleh Baca lebih lanjut

Sifat-Sifat Subgrup Normal


Setelah penjelasan Subgrup Normal pada tulisan sebelumnya, selanjutnya diberikan beberapa sifat pada subgrup normal.

Teorema 1.

Setiap subgrup dari grup komutatif merupakan subgrup normal.

Bukti.

Diketahui G grup komutatif dan H subgrup G. Ambil sebarang g \in G. Akan dibuktikan gH = Hg. Karena G grup komutatif, maka untuk sebarang h \in H \subseteq G berakibat gh=hg. Perhatikan

gH = \{ gh~|~h \in H \} = \{ hg~|~ h \in H \} = Hg.

Jadi, H subgrup normal dari G. \blacksquare

Dengan teorema di atas, apabila diberikan grup komutatif, maka pasti subgrupnya adalah normal. Selanjutnya diberikan karakteristik subgrup normal. Baca lebih lanjut