Teorema Butterfly


Pada tulisan kali ini kembali mengulas tentang geometry, seperti judul tulisan ini Teorema Butterfly, mungkin kalian sudah terbayang gambar apa yang muncul pada tulisan ini ? Yap, itu gambar kupu-kupu. Ilustrasinya sebagai berikut. Misal dipunyai sebuah lingkaran yang berjari-jari r, selanjutnya dibuat chord PQ (garis melalui dua titik pada lingkaran). Kemudian diberikan titik M yang merupakan titik tengah pada chord PQ tersebut. Setelah itu, gambar chord AB dan CD yang berpotongan di M. Dan chord AD dan BC berturut-turut memotong chord PQ pada titik X dan Y. Teorema Butterfly mengakatan bahwa M merupakan titik tengah dari XY.

butterfly_01

Teorema 1.

Titik tengah M yang melalui chord PQ pada suatu lingkaran. Untuk sebarang chord AB dan CD pada lingkaran tersebut, dimana chord AD dan BC memotong PQ di titik X dan Y. Maka M adalah titik tengah XY. Baca lebih lanjut

Panjang Garis Tengah pada Trapesium


Dua bangun datar dikatakan sebangun jika panjang sisi-sisi yang bersesuaian dari kedua bangun itu memiliki perbandingan senilai dan sudut-sudut yang bersesuaian dari kedua bangun itu sama besar. Pada tulisan ini saya tidak akan membahas secara detail tentang kesebangunannya tapi kesebangunan dua benda ini yang akan digunakan untuk melihat sifat yang ada pada trapesium. Dan pada tulisan ini, hanya meninjau satu sifat saja, yaitu jika diberikan trapesium ABCD kemudian dibuat garis horizontal EF yang sejajar dengan garis AB sedemikian hingga titik E berada pada garis AD dan F berada pada garis BC (perhatikan gambar di bawah), maka diperoleh sifat.trapesium_001

EF = \dfrac{DE \times AB + AE \times DC}{AD}

Selanjutnya dari trapesium di atas, dibuat garis DH yang sejajar dengan garis BC sedemikian hingga berpotongan pada titik G dan CD = FG = BH. Baca lebih lanjut

Teorema Thale


Misal diberikan sebuah lingkaran, kemudian dibuat segitiga dalam lingkaran tersebut. Di mana salah satu sisi segitiganya merupakan diameter lingkaran tersebut, maka besar sudut yang berhadapan dengan diameter lingkaran adalah 90 derajat.teorema_thale_01

Sifat ini merupakan bunyi Teorema Thale, berikut isi teorema lengkapnya

“Jika A,B dan C merupakan titik-titik yang berbeda pada lingkaran sedemikian hingga garis AB merupakan diameter lingkaran, maka sudut \angle ACB merupakan sudut siku-siku. Dengan kata lain, \triangle ABC merupakan segitiga siku-siku” Baca lebih lanjut

Aturan Sinus


Misal diberikan segitiga ABC sembarang. Jika diketahui besar sudut-sudut segitiga tersebut dan diketahui pula salah satu panjang sisi segitiga, bagaimana mencari panjang sisi yang lainnya? Inilah kegunaan Aturan Sinus. Dalam menyelesaikan permasalahan tersebut, akan dianfaatkan Aturan Sinus. Berikut
bunyi teorema Aturan Sinus.

“Diberikan segitiga ABC sebarang dengan panjang sisinya adalah a, b, dan c, yang masing-masing terletak terletak di depan sudut A, B dan C, maka

\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}

Untuk membuktikan teorema tersebut, akan digunakan dua jenis segitiga, yaitu segitiga lancip dan segitiga tumpul. Baca lebih lanjut

Panjang Garis Bagi pada Segitiga Sembarang


Sebelumnya saya juga pernah memposting tentang Garis Bagi pada Segitiga, pada tulisan itu dikonstruksi segitiga dalam lingkaran dan juga dengan memanfaatkan sifat sudut keliling dan sudut pusat. Pada tulisan ini, akan dimanfaatkan Dalil Stewart. Perhatikan gambar di bawah ini.garis_bagi(2)_04

Sebelum menuju pembuktian Garis Bagi, terlebih dahulu kita akan membuktikan bagian-bagian penting yang mendukung pembuktian Panjang Garis Bagi :

a.   Panjang garis AC = panjang garis CD

Pada gambar \triangle ABC tarik garis CF sedemikian sehingga membagi \angle ACB menjadi dua sama besar dan memotong garis AB di titik F. Selanjutnya sisi BC diperpanjang sedemikian sehingga menjadi sisi BD dan AD // CF sehingga membentuk \triangle BAD. Baca lebih lanjut

Sudut Istimewa


Tulisan ini terilhami ketika lagi mengerjakan soal trigonometri, waktu itu melihat nilai sin, cos, dan tan pada tabel sudut-sudut istimewa, kemudian terpikir bagaimana cara mendapatkan nilai-nilai tersebut tanpa melihat tabel. Nah, pada tulisan ini saya akan mencoba untuk menurunkan darimana dapat nilai-nilai tersebut. Perhatikan segitiga siku-siku sama kaki berikut.sudut_istimewa_01

Sebelum lebih jauh, dalam tulisan ini kita gunakan rumus-rumus di bawah ini.

\sin \alpha = \dfrac{depan}{miring}

\cos \alpha = \dfrac{samping}{miring}

\tan \alpha = \dfrac{depan}{samping}

Karena segitiganya adalah segitiga siku-siku sama kaki, maka diperoleh bahwa besar sudut A sama dengan besar sudut C, yaitu sebesar 45^0. Misal panjang sisi AB=BC=a, dengan menggunakan Pythagoras, diperoleh panjang AC = a \sqrt{2}. Oleh karena itu, didapat Baca lebih lanjut

Dalil Stewart


Kali ini saya akan menulis tentang geometri, yaitu Dalil Stewart. Dalil ini sangat banyak kegunaanya, tapi pada intinya untuk mempermudah perhitungan. Dalil Stewart ini nantinya akan saya manfaatkan untuk menurunkan rumus Garis Bagi pada segitiga. Gambaran umum untuk dalil ini adalah jika diberikan segitiga ABC sebarang, kemudian dibuat garis CD sedemikian hingga titik D berada pada garis AB, berapa panjang garis CD? Unutk mengitung panjang CD akan digunakan Dalil Stewart ini. Perhatikan segitiga berikut ini.Dalil_Stewart

Pandang \triangle CED

CD^2 = DE^2 + EC^2

EC^2 = CD^2-DE^2 … (i)

Pandang \triangle CEB

CB^2 = CE^2 + EB^2

EC^2 = CB^2-EB^2 … (ii)

Pers (i) = Pers (ii) Baca lebih lanjut

Pembuktian Volume Limas


Kalian sudah tahu bagaimana bentuk limas ? Yups tepat sekali, salah satu contoh yangterkenal adalah Piramid yang ada di Mesir. Tapi dalam postingan ini, saya tidak akan membahas Piramida, karena saya bukan ahli sejarah. Tulisan ini akan membahas bagaimana memperoleh rumus Volume Limas yaitu \dfrac{1}{3} \times \text{ Luas Alas } \times \text{ tinggi}. Apabila diperhatikan, rumus volume tersebut mirip dengan rumus volume Prisma, di Prisma tidak ada \dfrac{1}{3}. Dari mana datangnya \dfrac{1}{3} ? Melalui tulisan ini, saya akan mencoba mencari dari mana rumus tersebut. Dalam pembuktian ini, saya melakukan pendekatan geometri. Perhatikan kubus ABCD.EFGH berikut ini.Limas_01

Selanjutnya jika dibuat semua garis diagonal ruang pada kubus tersebut, maka akan terbentuk bangun ruang yang baru, yaitu Limas (lihat gambar di bawah ini).Limas_02 Baca lebih lanjut