Teorema Ceva

Jika diberikan segitiga sebarang kemudian dibuat ruas garis dari titik-titik segitiga tersebut, yaitu , , dan ke sisi yang berlawanan dengan masing-masing titik tersebut sedemikian hingga terbentuk garis , dan , dimana terletak pada sisi , terletak pada sisi dan terletak pada sisi . Selanjutnya ruas garis , dan disebut Cevian.

Nama garis ini berasal dari matematkawan Italia yang bernama Giovanni Ceva. Berikut teoremanya.

Teorema 1.

Jika tiga cevian , dan melalui masing-masing titik segitiga , maka

Menentukan Jenis Segitiga

Segitiga adalah bangun datar yang memiliki tiga sisi. Segitiga dibagi menjadi 3 jenis,  yaitu Segitiga Lancip, Segitiga Siku-Siku, dan Segitiga Tumpul. Ketiga jenis segitiga ini bergantung terhadap sudut-sudut yang ada pada segitiga itu sendiri. Suatu segitiga disebut lancip jika ketiga sudut dalam segitiga
tersebut adalah membentuk sudut lancip. Selanjutnya segitiga disebut segitiga siku-siku jika salah satu sudut segitiga yang dibentuk adalah sudut siku-siku. Kemudian yang terakhir adalah segitiga tumpul merupakan segitiga yang salah satu sudutnya membentuk sudut tumpul.

Dari penjelasan di atas, kita dapat menentukan jenis segitiga jika diketahui sudut-sudutnya. Bagaimana jika diketahui panjang ketiga sisi segitiga? Apakah kita bisa menentukan jenis segitiga tersebut? Bisa, dalam hal ini akan dimanfaatkan Aturan Kosinus. Pada dasarnya Aturan Kosinus ini menghitung besar sudut. Misal diberikan segitiga dengan panjang masing-masing sisi adalah , , dan . Karena yang diketahui panjang sisinya, maka untuk menentukan jenis segitiga ini, akan dicari hubungan dari ketiga sisinya. Dengan menggunakan Aturan Kosinus, diperoleh

Teorema Butterfly

Pada tulisan kali ini kembali mengulas tentang geometry, seperti judul tulisan ini Teorema Butterfly, mungkin kalian sudah terbayang gambar apa yang muncul pada tulisan ini ? Yap, itu gambar kupu-kupu. Ilustrasinya sebagai berikut. Misal dipunyai sebuah lingkaran yang berjari-jari , selanjutnya dibuat chord (garis melalui dua titik pada lingkaran). Kemudian diberikan titik yang merupakan titik tengah pada chord tersebut. Setelah itu, gambar chord dan yang berpotongan di . Dan chord dan berturut-turut memotong chord pada titik dan . Teorema Butterfly mengakatan bahwa merupakan titik tengah dari .

Teorema 1.

Titik tengah yang melalui chord pada suatu lingkaran. Untuk sebarang chord dan pada lingkaran tersebut, dimana chord dan memotong di titik dan . Maka adalah titik tengah .

Panjang Garis Tengah pada Trapesium

Dua bangun datar dikatakan sebangun jika panjang sisi-sisi yang bersesuaian dari kedua bangun itu memiliki perbandingan senilai dan sudut-sudut yang bersesuaian dari kedua bangun itu sama besar. Pada tulisan ini saya tidak akan membahas secara detail tentang kesebangunannya tapi kesebangunan dua benda ini yang akan digunakan untuk melihat sifat yang ada pada trapesium. Dan pada tulisan ini, hanya meninjau satu sifat saja, yaitu jika diberikan trapesium kemudian dibuat garis horizontal yang sejajar dengan garis sedemikian hingga titik berada pada garis dan berada pada garis (perhatikan gambar di bawah), maka diperoleh sifat.

Selanjutnya dari trapesium di atas, dibuat garis yang sejajar dengan garis sedemikian hingga berpotongan pada titik dan .

Teorema Thale

Misal diberikan sebuah lingkaran, kemudian dibuat segitiga dalam lingkaran tersebut. Di mana salah satu sisi segitiganya merupakan diameter lingkaran tersebut, maka besar sudut yang berhadapan dengan diameter lingkaran adalah 90 derajat.

Sifat ini merupakan bunyi Teorema Thale, berikut isi teorema lengkapnya

“Jika dan merupakan titik-titik yang berbeda pada lingkaran sedemikian hingga garis merupakan diameter lingkaran, maka sudut merupakan sudut siku-siku. Dengan kata lain, merupakan segitiga siku-siku”

Aturan Sinus

Misal diberikan segitiga sembarang. Jika diketahui besar sudut-sudut segitiga tersebut dan diketahui pula salah satu panjang sisi segitiga, bagaimana mencari panjang sisi yang lainnya? Inilah kegunaan Aturan Sinus. Dalam menyelesaikan permasalahan tersebut, akan dianfaatkan Aturan Sinus. Berikut
bunyi teorema Aturan Sinus.

“Diberikan segitiga sebarang dengan panjang sisinya adalah , , dan , yang masing-masing terletak terletak di depan sudut , dan , maka

”

Untuk membuktikan teorema tersebut, akan digunakan dua jenis segitiga, yaitu segitiga lancip dan segitiga tumpul.

Panjang Garis Bagi pada Segitiga Sembarang

Sebelumnya saya juga pernah memposting tentang Garis Bagi pada Segitiga, pada tulisan itu dikonstruksi segitiga dalam lingkaran dan juga dengan memanfaatkan sifat sudut keliling dan sudut pusat. Pada tulisan ini, akan dimanfaatkan Dalil Stewart. Perhatikan gambar di bawah ini.

Sebelum menuju pembuktian Garis Bagi, terlebih dahulu kita akan membuktikan bagian-bagian penting yang mendukung pembuktian Panjang Garis Bagi :

a.   Panjang garis = panjang garis

Pada gambar tarik garis sedemikian sehingga membagi menjadi dua sama besar dan memotong garis di titik . Selanjutnya sisi diperpanjang sedemikian sehingga menjadi sisi dan sehingga membentuk .

Sudut Istimewa

Tulisan ini terilhami ketika lagi mengerjakan soal trigonometri, waktu itu melihat nilai , , dan pada tabel sudut-sudut istimewa, kemudian terpikir bagaimana cara mendapatkan nilai-nilai tersebut tanpa melihat tabel. Nah, pada tulisan ini saya akan mencoba untuk menurunkan darimana dapat nilai-nilai tersebut. Perhatikan segitiga siku-siku sama kaki berikut.

Sebelum lebih jauh, dalam tulisan ini kita gunakan rumus-rumus di bawah ini.

Karena segitiganya adalah segitiga siku-siku sama kaki, maka diperoleh bahwa besar sudut sama dengan besar sudut , yaitu sebesar . Misal panjang sisi , dengan menggunakan Pythagoras, diperoleh panjang . Oleh karena itu, didapat