Kenapa Jumlah Sisi Tegak Segitiga Siku-Siku Lebih Panjang dari Sisi Miring?


Semua pasti sudah tahu segitiga siku-siku itu salah satu segitiga yang spesial karena untuk menghitung sisi miringnya, dapat menggunakan Rumus Pythagoras dan semua sudah tahu rumusnya. Tapi apakah Anda yakin kalau jumlah sisi tegak segitiga siku-siku tersebut lebih panjang dari sisi miringnya? Tentu keyakinan Anda tersebut harus dibuktikan agar keyakinan itu tidak dapat dipatahkan oleh siapapun. Pada tulisan ini saya akan mencoba untuk membuktikan keyakinan tersebut. Misal diberikan segi tiga siku-siku dengan panjang sisi siku-sikunya adalah a dan b serta sisi miringnya adalah c (seperti pada gambar di bawah ini)

 segi3-siku2

Dengan menggunakan Pythagoras, diperoleh

c^2 = a^2+b^2 … (i)

Dalam hal ini akan dibandingkan antara panjang sisi miring segi tiga yaitu c dengan jumlah kedua sisi siku-siku yaitu a+b. Perhatikan bahwa

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 … (ii)

Substitusi persamaan (i), diperoleh

(a+b)^2 = c^2 + 2ab … (iii)

Dari persamaan (iii), dapat disimpulan bahwa (a+b)^2 > c^2. Karena a+b dan c lebih besar dari nol yaitu a+b, c > 0, berakibat a+b > c. Jadi, jumlah sisi tegak siku-siku lebih panjang dari sisi miringnya.

Komposisi Fungsi (2)


Misal diberikan fungsi g : A \rightarrow B dan f : B \rightarrow C dengan y = g(x) dan z = f(y) untuk setiap x \in A, y \in B. Agar dua fungsi (f dan g) dapat dikomposisi (f \circ g), maka harus memenuhi syarat, yaitu g(x) \subseteq B. Apa yang terjadi jika g(x) \nsubseteq B ? g(x) jika dipandang sebagai domain f tidak memenuhi syarat menjadi fungsi untuk f(g(x)).

Perhatikan bahwa, jika fungsi h merupakan komposisi fungsi dari f dan g yaitu pemetaan dari himpunan A ke himpunan A, maka fungsi h dapat ditulis sebagai h = (f \circ g) atau h(x) = (f \circ g)(x) untuk setiap x \in A

Berdasarkan deskripsi di atas, komposisi fungsi g dan fungsi g dapat didefinisikan sebagai berikut :

CONTOH 1.

Diketahui fungsi f dan g yang didefinisikan sebagai berikut f : R \rightarrow R dengan f(x) = 2x-1 dan g : R \rightarrow R dengan g(x) = 5-3x. Tentukan (f \circ g)(x) dan (g \circ f)(x) Baca lebih lanjut

0^0 tak terdefinisi ?


Ketika masa-masa sekolah, saya pernah diberi tahu oleh guru bahwa berpapun dikalikan 0 hasilnya sama dengan nol, kemudian beliau melanjutkan pernyataanya dengan mengatakan bahwa berapapun dibagi 0 hasilnya juga sama dengan nol, dan terakhir beliau mengatakan berapaun jika dipangkatkan 0 hasilnya sama dengan 1 dan 0 pangkat berpapun hasilnya nol. Ketika itu saya menerima sambil angguk-anggukan kepala selain itu juga saya tidak punya alasan untuk menyangkal pernyataan beliau. Tapi setelah duduk di bangku kuliah, ternyata pernyataan-pernyataan yang diberikan oleh guru saya waktu itu salah. Melalui tulisan ini saya akan sedikit membahasnya, tapi saya akan membahas tentang 0^0.

Misal kita punya a \in \mathbb{R} dengan a \neq 0 maka a^0 = 1. Kenapa bisa begitu ? Baik, sekarang perhatikan

a^0 = a^{1-1}

= \frac{a^1}{a^1}

= \frac{a}{a}

Karena a \neq 0, maka

= 1

Jadi, a^0 = 1

Selanjutnya, berapa hasil dari 0^0 ? Dengan mengadopsi pembuktian diatas untuk kasus a \neq 0 dengan mengambil a = 0, maka diperoleh

0^0 = 0^{1-1}

= \frac{0^1}{0^1}

= \frac{0}{0}

Karena = \frac{0}{0} tak terdefinisi, maka 0^0 = tak terdefinisi

Jadi, hasil dari 0^0 adalah tak terdefinisi

x + tan x = 1


Kasus trigonometri yang satu ini bagi saya cukup menarik, dimana x + tan x = 1, perlu diingat bahwa x disini dalam bentuk radian (bukan derajat).

Buktikan terdapat x \in (0, 1) sehingga x + tan x = 1

Bagaimana cara membuktikannya ? Disini saya akan menggunakan sedikit trik (ide) untuk mempermudah pengerjaan. Mari perhatikan,

didefinisikan f : [0, 1] \rightarrow \mathbb{R} dengan f(x) = (x – 1) sin x

f(0) = 0 = f(1)

f terdefinisi pada [0, 1]

f'(x) ada untuk setiap x \in (0, 1), dengan

f'(x) = sin x + (x – 1) cos x

terdapat c \in (0, 1) sehingga f'(c) = 0, yaitu

sin c + (c – 1) cos c = 0

kalikan kedua ruas dengan 1/cos c

tan c + (c – 1) = 0

c + tan c = 1

Bagaimana ? Menarik bukan ?

Jika ada yang punya ide lain, silahkan di share, karena jalan pembuktiannya tidak tunggal. Kalau kata orang bijak “banyak jalan menuju Roma”

Sifat-Sifat Logaritma Natural


Sifat yang dimiliki oleh ln atau logaritma natural ini penting dalam pengerjaan soal-soal, dimana sifat-sifatnya ini dirangkum dalam sebuah teorema.

Teorema A :

Jika a dan b adalah bilangan positif dan r adalah bilangan rasional, maka

  1. ln 1 = 0
  2. ln ab = ln a + ln b
  3. ln \frac{a}{b} = ln a – ln b
  4. ln ar = r ln a

untuk membuktikan teorema diatas, disini saya membutuhkan sebuah teorema sebagai bantuan dalam pembuktiannya dan saya tidak akan membuktikan teorema dibawah ini. Baca lebih lanjut

Nilai Log (0)


Sudah tahu kan apa itu logaritma ?

Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan dari operasi eksponen atau pemangkatan dan ditulis dengan simbol “log”, secara matematika ditulis sebagai berikut

Definisi :

alog b = n \Leftrightarrow b = an dengan a, b > 0 dan a \neq 1

Yang jadi pertanyaan saya, kenapa basis dan numeris nya harus lebih besar dari nol ? Apa yang terjadi jika basis dan numerisnya sama dengan nol (a = b = 0) atau numerisnya saja yang sama dengan nol ? Karena ini merupakan definisi baku, tentu semuanya ada alasan. Baca lebih lanjut

turunan x^[x^(x)]


Selamat datang di blog saya, alhamdulillah masih diberi kesempatan untuk menulis di blog tercinta ini dan terima kasih saya ucapkan untuk para pengunjung blog, semoga tulisan-tulisan dalam blog ini selalu bermanfaat untuk kita semua. Ide tulisan kali ini adalah terilhami dari turunan xx. Pada tulisan ini akan dibahas turunan dari fungsi yang terlihat lebih ribet dari sebelumnya yaitu turunan x^{x^x} .

misal : y = x^{x^x}

ln-kan kedua ruas, maka

ln y = ln x^{x^x}

ln y = xx ln x

turunkan secara implisit kedua ruas, sehingga Baca lebih lanjut