Bukti Teorema Dalil L’Hospital


Teorema Dalil L’Hospital biasa digunakan untuk mencari nilai limit dari fungsi rasional yang berbentuk \frac{0}{0} , dengan memanfaatkan turunan yaitu menurunkan masing-masing dari fungsi pembilang dan fungsi penyebutnya. Berikut bunyi teoremanya.

Teorema : [Bartle, R.G., 1999]

Jika f dan g terdefinisi pada [a, b] dan f(a) = g(a) = 0 serta g(x) \neq 0 untuk a < x < b. Jika f dan g terdiferensial pada a dan g'(a) \neq 0, maka limit dari \frac{f}{g} di a ada dan sama dengan \frac{f'(a)}{g'(a)} . lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)} . Baca lebih lanjut

Fungsi Balikan (Invers)


Misalkan f merupakan fungsi dari A ke B dan misalkan b \epsilon B, maka invers dari b dinotasikan oleh f-1(b), yang terdiri dari anggota-anggota A yang dipetakan pada b, yaitu anggota-anggota dalam A yang memiliki b sebagai hasil pemetaannya.

Definisi :

Jika f : A \rightarrow B, maka dikatakan dapat dibalik (invertible) jika terdapat fungsi g : B \rightarrow A sedemikian sehingga f o g = IA dan g o f = IB

Baca lebih lanjut

Fungsi Genap dan Ganjil (Even and Odd Functions)


Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil biasa digunakan untuk memperkirakan kesimetrian grafik suatu fungsi. Grafik suatu fungsi ada yang simetri terhadap sumbu-y, simetri terhadap titik asal dan ada yang tidak simetri terhadap kedua-duanya. Grafik fungsi yang simetri terhadap sumbu – y disebut Fungsi Genap (lihat gambar fungsi f(x) = x^2-2) atau Fungsi Genap didefinisikan sebagai f(-x) = f(x) untuk setiap x di domain f(x). Sedangkan grafik fungsi yang simetris terhadap titik asal fungsi f(x) disebut Fungsi Ganjil (lihat gambar fungsi g(x) = x^3) atau Fungsi Ganjil didefinisikan sebagai f(-x) = - f(x) untuk setiap x di domain f(x). Jika suatu fungsi bukan merupakan Fungsi Genap maka belum tentu merupakan Fungsi Ganjil, begitu juga sebaliknya. Dan jika suatu fungsi tidak termasuk fungsi genap dan ganjil maka grafik yang terbentuk tidak simetris terhadap sumbu-y maupun titik asal (lihat gambar fungsi h(x) = x^3-1). Baca lebih lanjut

Komposisi Fungsi


Komposisi Fungsi dikenal juga dengan penggandaan atau perkalian fungsi. Jika dua fungsi digandakan yaitu fungsi f dan fungsi g, ditulis g o f jika dan hanya jika kodomain f subset dari domain g. Secara matematis dapat ditulis sebagai berikut.

Definisi :

Misalkan f : A \rightarrow B dan g : C \rightarrow D adalah suatu fungsi sehingga Rf \subseteq Df. Komposisi Fungsi f dan g, dengan notasi g o f, didefinisikan dengan (g o f)(x) = g(f(x)), \forall x \epsilon Df.

Baca lebih lanjut

Logaritma dan Sifat-Sifatnya


Tentu kita sudah kenal dengan bilangan berpangkat, misal kita ambil bilangan riil positif yaitu 2, jika bilangan ini dipangkatkan dengan bilangan riil positif juga (misal 3), maka menjadi 23 = 8, dengan 2 disebut bilangan pokok dan 3 adalah pangkat dari 2 serta 8 merupakan hasil dari 23.
Menghitung bilangan berpangkat bisa dibilang mudah, seperti contoh diatas yaitu 23 sama dengan 2 x 2 x 2. Kemudian sekarang timbul pertanyaan bagaimana jika bilangan pokok serta hasilnya di ketahui, yang jadi pertanyaannya, berapa nilai pangkatnya?. Baca lebih lanjut

Pembuktian Rumus “Kecap” (abc) : Mencari Akar Persamaan Kuadrat


Secara umum persamaan kuadrat berbentuk ax2 + bx + c = 0 dengan a \neq 0. Persamaan kuadarat seperti ini memiliki tiga bentuk akar-akar persamaan, yaitu memiliki dua akar riil dan berbeda (jika D > 0), memiliki dua akar riil dan sama (jika D < 0) dan tidak memiliki akar riil atau biasa dikenal dengan tidak memiliki solusi (jika D < 0). Apa D? D adalah singkatan dari Diskriminan yaitu memiliki rumus D = \sqrt{b^2-4ac}. Dalam mencari akar-akar persamaan kuadrat biasa dengan menggunakan rumus abc atau lebih dikenal dengan Rumus Kecap. Penurunan Rumus Kecap ini menggunakan bantuan mencari akar persamaan kuadrat dengan Melengkapi Kuadrat Baca lebih lanjut