Koefesien Binomial

Untuk mencari koefesien dari suatu persamaan yang berbentuk (x + y)ⁿ memiliki beberapa cara yang sering digunakan. Salah satunya dengan cara menjabarkan persamaan tersebut kemudian menentukan koefesien yang ingin ditentukan.

(x + y)⁰ = 1

(x + y)¹ = x + y

(x + y)² = x² + 2xy + y²

(x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y²

(x + y)⁴ = x⁴ + 4x³y + 6x²y² + 4xy³ + y⁴

Pembuktian Langsung

Banyak sifat dan teorema yang ketika sekolah dulu kita gunakan tanpa tahu asal usul pembuktiannya, tapi ketika kita kuliah di matematika, sudah tidak asing lagi dengan pembuktian sifat-sifat atau teorema. Untuk membuktikannya tidak lepas dari teknik yang digunakan. Teknik yang biasa digunakan yaitu teknik Pembukitan Langsung, teknik Tidak Langsung dan Induksi Matematika. Tulisan ini akan membahas sedikit tentang teknik pembuktian langsung.

Relasi Terurut Sebagian (POSET)

Relasi sering digunakan untuk mengurutkan elemen-elemen di dalam himpunan. Misalnya, elemen-elemen di dalam himpunan bilangan bulat terurut oleh relasi (lebih kecil dari atau sama dengan). Karena elemen-elemen tersebut terurut berdasarkan relasi , maka jika diberikan sebuah elemen bilangan bulat, kita dapat menentukan bilangan bulat berikutnya atau bilangan bulat sebelumnya.

Fibonacci dan Induksi Matematika

Barisan Fibonacci adalah barisan recursif yang ditemukan oleh seorang matematikawan berkebangsaan Italia yang bernama Leonardo da Pisa. Barisan ini tergolong cukup uniq karena barisan yang terbentuk sebagai berikut F₀ = 0, F₁ = 1, F₂ = 1, F₃ = F₁ + F₂ = 2, F₄ = F₂ + F₃ = 3, F₅ = F₃ + F₄ = 8, … .Jika diperhatikan, bahwa suku ke-n merupakan penjumlahan dua suku sebelumnya untuk n 2. Jadi barisan ini didefinisikan secara recursif sebagai berikut.

F_n =

Untuk barisan Fibonacci ini ada sifat yang menarik menurut saya, dimana setiap kuadrat barisannya (sampai barisan ke-n) apabila dijumlahkan sama dengan perkalian barisan ke-n dikalikan dengan barisan ke-(n+1). Secara formal dapat ditulis sebagai berikut.

Relasi

Relasi adalah hubungan antara anggota himpunan dengan anggota himpunan yang lain. Cara untuk menyatakan hubungan antara anggota 2 himpunan adalah dengan himpunan Pasangan Terurut. Dimana himpunan pasangan terurut diperoleh dari perkalian kartesian (Cartesian Product). Relasi secara matematis didefinisikan sebagai berikut.

Definisi 1.

Misal A dan B adalah dua himpunan sebarang, maka suatu relasi R dari A ke B adalah sebarang subset A x B, termasuk himpunan kosong yaitu R A x B. Relasi ini dinyatakan sebagai R = {(a, b)|a berelasi dengan b} = {(a, b)|aRb}

Pasangan Terurut (Ordered Pairs)

Pasangan Terurut (Ordered Pairs) adalah pengaitan dua buah anggota himpunan dengan memperhatikan urutan. Beda halnya pada himpunan, pasangan dua anggota pada himpunan tidak memperhatikan urutan, misal A = (1, 2) dan B = (2, 1), maka A = B, tapi pada pasangan terurut tidak berlaku. Misalkan pasangan terurut terdiri atas dua buah elemen yaitu a dan b dengan notasi (a, b), ini artinya bahwa pasangan terurut dua anggota suatu himpunan dengan urutan pertama a dan urutan kedua b. Oleh karena itu, jika a b maka (a, b) (b, a). Secara matematis, ditulis sebagai berikut.

Pembuktian dengan Induksi Matematika

Induksi Matematika berawal pada akhir abad ke-19 yang dipelopori oleh dua orang matematikawan yaitu R. Dedekind dan G.Peano. Dedikind mengembangkan sekumpulan aksioma yang menggambarkan bilangan bulat positif. Peano memperbaiki aksioma tersebut dan memberikannya interpretasi logis. Keseluruhan aksioma tersebut dinamakan Postulat Peano. Postulat ini ditemukan sekitar tahun 1890 sebagai rumusan formula konsep bilangan asli.

Tautologi, Kontradiksi, dan Kontingensi

Definisi 1.

Tautologi adalah suatu proporsi majemuk yang selalu bernilai benar untuk semua kemungkinan kombinasi nilai kebenaran dari proporsi-proporsi pembentuknya

Contoh pada table kebenaran

p	p	p p
B S	S B	B B