Lingkaran Dalam Segitiga


Tulisan kali ini membahas tentang Lingkaran Dalam Segitiga, yaitu bagaimana menghitung panjang jari-jari lingkaran yang ada dalam segitiga. Dalam hal ini, akan dimanfaatkan garis bagi segitiga, yaitu garis yang membagi sudut segitiga menjadi dua sama besar. Misalkan dipunyai segitiga ABC sebarang dengan panjang sisinya adalah a, b dan c, akan dibentuk lingkaran yang menyinggung ketiga sisi segitiga tersebut. Pertama, dibuat terlebih dahulu garis bagi setiap sudut segitiga. Selanjutnya titik perpotongan dari garis bagi ini yang akan jadi titik pusat lingkaran. Kemudian dari titik pusat, ditarik garis ke ketiga sisi segitiga sedemikian hingga garis-garis tersebut tegak lurus dengan sisi segitiga, yaitu OE \bot BC, OD \bot AB dan OF \bot AC. Selanjutnya baru dibuat lingkaran yang melalui titik D,E dan F serta melalui titik pusat O. (perhatikan gambar)LDS_01

Seperti yang terlihat pada gambar bahwa garis OD, OE dan OE merupakan jari-jari lingkaran sekaligus merupakan tinggi dari masing-masing segitiga AOB, BOC dan COA. Sehingga berakibat OD = OE = OE = r. Oleh karena itu, untuk mencari jari-jari lingkaran ini, akan dimanfaatkan hubungan dari luas –segitiga-segitiga tersebut. Perhatikan bahwa Baca lebih lanjut

Garis Singgung Persekutuan Luar Dua Lingkaran


Misal diberikan dua lingkaran yang berpusat di M dan N yang berturut-turut memiliki jari-jari R dan r serta jarak antar titik pusat kedua lingkarannya adalah p (perhatikan gambar di bawah ini).GSPL_01

Bagaimana cara menentukan panjang garis singgung kedua lingkaran tersebut?

Pertama dibuat garis yang menyinggung kedua lingkaran tersebut, misal sebut garis AB dengan titik A dan B menyinggung masing-masing lingkaran. Seperti yang diketahui bahwa garis yang menyinggung kedua lingkaran adalah tegak lurus dengan jari-jari lingkaran yang bersangkutan. Dalam hal ini, garis singgung yang seperti ini dikenal dengan nama Garis Singgung Persekutuan Luar Dua Lingkaran. Baca lebih lanjut

Bekerja Bersama-Sama


Tulisan ini berawal dari mengerjakan soal Tes Potensi Akademik, soal jenis ini cukup sering muncul dalam TPA bidang matematika. Menurut saya cukup menarik untuk diposting tulisan ini. Berikut contoh pertanyaannya.

Si A dapat menyelesaikan sendiri sebuah pekerjaan dalam waktu 2 jam, sedangkan B dapat menyelesaikan pekerjaan yang sama dalam waktu 4 jam. Jika mereka berdua bekerja bersama-sama, berapakah lama pekerjaan itu dapat selesai ?

Berikut logika pengerjaannya :

Si A dapat mengerjakan pekerjaan dalam waktu 2 jam, artinya dalam 1 jam, Si A dapat mengerjakan \dfrac{1}{2} pekerjaan. Kemudian Si B dapat mengerjakan pekerjaan dalam waktu 4 jam, artinya dalam 1 jam, Si B dapat mengerjakan \dfrac{1}{4} pekerjaan. Jadi, jika mereka bekerja bersama-sama, dalam 1 jam, Si A dan Si B dapat menyelesaikan \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4} pekerjaan. Karena setiap jam mereka dapat menyelesaikan \dfrac{3}{4} pekerjaan, maka untuk menyelesaikan semua pekerjaan dibutuhkan waktu \dfrac{1}{3/4} = \dfrac{4}{3} jam. Baca lebih lanjut

Persamaan Kuadrat


Pada tulisan ini akan diawali dengan Bentuk Umum Persamaan Kuadrat, tapi sebelumnya perhatikan contoh-contoh persamaan berikut ini.

1. x^2 = 0

2.  x^2-4x = 0

3.  x^2-9 = 0

4.  x^2-5x+6 = 0

5.  2x^2-5x+2 = 0

Apabila diperhatikan contoh diatas, semua persamaan tersebut memiliki pangkat tertinggi bagi peubah (variabel) x adalah dua. Contoh-contoh di atas dinamakan persamaan kuadrat dalam peubah x. Berdasarkan contoh di atas, dapat disimpulkan bahwa bentuk persamaan umum Persamaan Kuadrat dapat didefinisikan sebagai berikut.

Definisi 1.

Misalkan a,b,c \in \mathbb{R} dengan a \neq 0, maka persamaan yang berbentuk

ax^2 + bx + c = 0

Disebut Persamaan Kuadrat dalam peubah x.

Sehingga melalui definisi di atas mengetahui apakah suatu persmaan merupakan persamaan kuadrat atau bukan. Untuk lebih memahaminya, perhatikan contoh berikut. Baca lebih lanjut

Persamaan Garis Singgung Lingkaran (2)


Tulisan ini merupakan kelanjutan dari Persamaan Garis Singgung Lingkaran (1) yaitu mencari persamaan garis  singgung lingkaran yang melalui suatu titik singgung. Tulisan kali ini merupakan bagaimana mencari persamaan garis singgung jika diketahui gradien garis singgung. Dalam hal ini memiliki dua kondisi seperti sebelumnya yaitu untuk lingkaran yang berpusat titik O(0,0) dan jari-jari r dan untuk lingkaran dengan titik pusat A(a,b) dengan jari-jari r. Baik, pada tulisan ini saya akan paparkan satu per satu.

1.   Lingkaran dengan Pusat di O(0,0) dan jari-jari r

Persamaan garis singgung lingkaran L \equiv x^2+y^2=r^2 apabila gradien garis singgung m diketahui. Sehingga diperoleh persamaan garis yaitu y = mx + n. Selanjutnya substitusi persamaan garis singgung ke persamaan lingkaran, diperoleh

x^2+(mx+n)^2=r^2

x^2 + m^2x^2 + 2mnx + n^2 = r^2

(1+m^2)x^2 + 2mnx + (n^2-r^2) = 0 Baca lebih lanjut

Persamaan Garis Singgung Lingkaran (1)


Pada tulisan sebelumnya sudah dijelaskan tentang Persamaan Lingkaran. Pada tulisan ini akan dipaparkan tentang Persamaan Garis Singgung Lingkaran yaitu persamaan garis yang melalui suatu titik. Persamaan garis singgung yang seperti ini memiliki dua kondisi yaitu untuk lingkaran yang berpusat titik O(0,0) dan jari-jari r dan untuk lingkaran dengan titik pusat A(a,b) dengan jari-jari r. Baik, pada tulisan ini saya akan paparkan satu per satu.

1.   Lingkaran dengan Pusat di O(0,0) dan jari-jari r

Perhatikan gambar di bawah ini.

PGSL_01

Pada gambar di atas, garis g adalah garis singgung lingkaran L \equiv x^2+y^2=r^2 dan P(x_1,y_1) adalah titik singgungnya. Hal ini berarti titik P(x_1,y_1) terletak pada lingkaran L \equiv x^2+y^2=r^2 sehingga berakibat x_1^2 + y_1^2 = r^2. Baca lebih lanjut

Persamaan Lingkaran


Sebelum memasuki persamaan lingkaran, terlebih dahulu akan dikenalkan konsep jarak dua titik. Misal diberikan titik dengan koordinat P(x_1,y_1) dan Q(x_2,y_2). Bagaimana menentukan jarak titik P dan Q ? Dalam hal ini akan digunakan bantuan Pythagoras yaitu dengan membuat titik bantuan yaitu titik koordinat R(x_2,y_1) sedemikian hingga apabila ketiga koordinat titik tersebut dihubungkan akan terbentuk segi tiga siku-siku yang siku-siku di R.

jarak-segi3    

Dengan memperhatikan gambar di atas dan memanfaatkan Pythagoras, diperoleh jarak PQ sama dengan akar dari PR kuadrat ditambah QR kuadrat, dengan PR=(x_2-x_1, y_1-y_1) dan QR = (x_2-x_2,y_2-y_1) yaitu

d(P,Q) = \sqrt{PR^2+QR^2}

= \sqrt{\left( \sqrt{(x_2-x_1)^2+0^2} \right)^2 + \left(\sqrt{0^2+(y_2-y_1)^2} \right)^2}

= \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}

Selanjutnya misal diberikan sebuah lingkaran dengan jari-jari adalah 5 dengan titik pusat (3,6). Misal (x,y) adalah sebarang titik pada lingkaran. Baca lebih lanjut

Bagaimana Menentukan Bilangan Prima ? (2)


Pada tulisan sebelumnya Bagaimana Menentukan Bilangan Prima ? (1) yang membahas tentang bagaimana menentukan bilangan prima antara 1-100. Masalah selanjutnya adalah bagaimana cara menentukan bilangan prima jika diberikan sebarang bilangan bulat n. Untuk bilangan bulat 1 \leq n \leq 100, dapat ditentukan dengan cara seperti pada tulisan sebelumnya. Bagaimana dengan kasus n > 100 ? Dalam tulisan ini akan dipaparkan cara untuk menentukan apakah satu bilangan bulat n merupakan bilangan prima atau bukan. Berikut langkah-langkahnya :

1.   Perhatikan angka satuan pada bilangan bulat n tersebut. Jika angka satuannya adalah 1, 3, 7, atau 9 maka bilangan tersebut merupakan ‘calon’ bilangan prima. Jika angka satuannya bukan 1, 3, 7 atau 9, maka bilangan tersebut bukan bilangan prima.

2.   Jika bilangan tersebut merupakan ‘calon’ bilangan prima, tentukan akar kuadrat dari bilangan tersebut yaitu \sqrt{n}.

3.   Daftarkan bilangan prima p yang kurang dari atau sama dengan \sqrt{n} atau p \leq \sqrt{n}.

4.   Cek apakah bilangan n habis dibagi oleh p atau tidak. Jika habis dibagi, maka n bukan merupakan bilangan prima. Jika tidak, maka n merupakan bilangan prima. Baca lebih lanjut