Habis Dibagi 13


Beberapa waktu yang lalu ada beberapa pengunjung blog yang menanyakan tentang bilangan habis dibagi 13, kira-kira pertanyaannya sebagai berikut “buktikan bahwa 71234 + 71234 + 71234 + 71234 habis dibagi 13″. Sebelumnya saya minta maaf karena tidak bisa langsung merespon karena beberapa hal, melalui tulisan ini saya mencoba untuk menjelaskan lebih rinci.

Tapi sebelumnya, saya akan menulis definisi mod (modulus) yang akan kita gunakan untuk menyelesaiakan soal tersebut.

Definisi

misal n adalah bilangan bulat positif, a dan b adalah bilangan bulat lainnya. Dikatakan bahwa a adalah kongruen b mod n atau a adalah sisa dari a mod n, ditulis a \equiv b mod (n).

atau dengan kata lain a \equiv b mod (n) jika n habis membagi (a – b).

sebelum menggunakan definisi diatas, kita terlebih dahulu merincikan hasil dari 7i untuk beberapa i \in \mathbb{N} (sesuai dengan kebutuhan), perhatikan hasil dibawah ini :

71 = 7

72 = 49

73 = 343

74 = 2401

75 = 16807

jika diperhatikan, maka angka satuannya akan berulang pada iterasi (pengulangan) pangkat yang ke-5, dari hasil ini kita akan menggunakan definisi diatas dengan menggunakan “mod 4”. Sehingga diperoleh

1234 mod 4 = 2 \Rightarrow 71234 = 72 memiliki angka satuan 9

2341 mod 4 = 1 \Rightarrow 72341 = 71 memiliki angka satuan 7

3412 mod 4 = 0 \Rightarrow 73412 = 74 memiliki angka satuan 1

4123 mod 4 = 3 \Rightarrow 74123 = 73 memiliki angka satuan 3

71234 + 71234 + 71234 + 71234 = 9 + 7 + 1 + 3 = 20

jadi angka satuan dari penjumlahannya adalah 0

Iklan

Jumlah Deret Khusus


Dalam mengerjakan soal barisan, sering kita menemukan deret yang unik (pada soal deret TPA juga), deret ini berbentuk jumlah bilangan asli, kemudian jumlah dari kuadrat bilangan asli dan sebagainya. Dalam deret-deret ini yang jadi tugas kita adalah menentukan rumus jumlah deret tersebut, dalam berbagai buku sudah banyak yang menuliskan rumus jumlah deret ini, tapi bagaimana cara menentukannya ? Dalam tulisan ini akan membahas bagaimana cara mendapatkan rumus jumlah deret tersebut, berikut beberapa deret yang akan dibahas :

\sum_{i=1}^{n} i = 1 + 2 + 3 + … + n

= \frac{n(n+1)}{2}

\sum_{i=1}^{n} i2 = 12 + 22 + 32 + … + n2

= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

\sum_{i=1}^{n} i3 = 13 + 23 + 33 + … + n3

= [\frac{n(n+1)}{2}]^2

\sum_{i=1}^{n} i4 = 14 + 24 + 34 + … + n4

= \frac{n(n+1)(6n^3+9n^2+n-1)}{30} Baca lebih lanjut

Pembahasan Latihan Soal Olimpiade Matematika (5)


  1. Siswa SMP dan SMA mengikuti ujian matematika di Gedung Prof. Soedarto UNDIP. Jika seorang siswa SMP keluar gedung, maka 1/7 dari siswa yang berada di gedung adalah siswa SMP. Jika dua siswa SMA keluar gedung, maka 1/5 dari siswa yang berada di gedung adalah siswa SMP. Tentukan perbandingan banyaknya siswa SMA : SMP.

    PEMBAHASAN :

    misal : x = banyaknya siswa SMP dan y = total siswa.

    \frac{x-1}{y-1} = \frac{1}{7}

    7(x – 1) = y – 1

    7x – 7 = y – 1

    7x – y = 6 … (i) Baca lebih lanjut

Pembahasan Latihan Soal Olimpiade Matematika (3)


  1. Alex selalu berbohong pada hari-hari Kamis, Jumat, dan Sabtu. Pada hari hari lain Alex selalu jujur. Di lain pihak Frans selalu berbohong pada hari-hari Minggu, Senin, dan Selasa, dan selalu jujur pada hari-hari lain. Pada suatu hari, keduanya berkata:”Kemarin Saya berbohong”. Hari mereka mengucapkan perkataan tersebut adalah hari …

    PEMBAHASAN :

                 Alex    Frans

    Senin     : Jujur    Bohong

    Selasa    : Jujur    Bohong

    Rabu      : Jujur    Jujur

    Kamis     : Bohong    Jujur

    Jumat     : Bohong    Jujur

    Sabtu     : Bohong    Jujur

    Minggu    : jujur    Bohong

    Jadi mereka mengucapkan perkataan tersebut pada hari Rabu.

  2. Suatu bilangan terdiri dari 2 angka . Bilangan tersebut sama dengan 4 kali jumlah kedua angka tersebut. Jika angka kedua dikurangi angka pertama sama dengan 2, bilangan tersebut adalah … Baca lebih lanjut