Category Persamaan Diferensial

Sep 13 2013

Hubungan Fungsi Gamma dan Beta


Sebelum menentukan hubungan Fungsi Gamma dan Beta, terlebih dahulu kita harus tahu definisi masing-masing Fungsi Gamma dan Beta didefinsikan sebagai berikut

Definisi.

Fungsi Beta \beta, suatu fungsi bernilai riil dengan dua peubah, didefinisikan oleh suatu bentuk integral, yaitu :

\beta (m, n) = \displaystyle \int_0^1 x^{m-1} (1-x)^{n-1} ~dx, m > 0, n > 0

untuk mencari hubungan kedua fungsi ini, kita akan membutuhkan bentuk lain dari Fungsi Beta, yaitu salah satunya dalam koordinat kutub

ambil x = \sin^2 \theta maka dx = 2 \sin \theta \cos \theta ~d \theta

batas-batas integral

x = 0 \Rightarrow \theta = 0

x = 1 \Rightarrow \theta = \dfrac{\pi}{2} Baca lebih lanjut →

Sep 3 2013

Luas Kurva Distribusi Normal


Distribusi normal adalah distribusi dari variabel acak kontinu.  Kadang-kadang distribusi normal disebut juga dengan distribusi Gauss.  Distribusi ini merupakan distribusi yang paling penting dan paling banyak digunakan di  bidang analisa statistika. Distribusi normal baku adalah distribusi normal yang memiliki rata-rata nol dan simpangan baku satu. Distribusi ini juga dijuluki kurva lonceng (bell curve) karena grafik fungsi kepekatan probabilitasnya mirip dengan bentuk lonceng.

photo NormalDistributionCurvesvg_zps2790b95e.png

sumber gambar : http://id.wikipedia.org/

secara matematis distribusi normal didefinisikan sebagai berikut : Baca lebih lanjut →

Agu 2 2013

Deret MacLaurin


Suatu fungsi f(x) yang memiliki turunan f'(x), f''(x), f'''(x), dan seterusnya yang kontinyu dalam interval I dengan a, x \in I maka untuk x disekitar a yaitu |x -a| < \mathbb{R}, f(x) dapat diekspansi kedalam Deret Taylor

Definisi.

f(x) = f(a) + \dfrac{(x-a)}{1!} f'(a) + \dfrac{(x-a)^2}{2!} f''(a) + \ldots + \dfrac{(x-a)^n}{n!} f^{(n)}(a) + \ldots + R_n(x)

= f(a) + \displaystyle \sum_{k=1}^n \dfrac{(x-a)^k}{k!} f^{(k)} (a) + R_n(x)

= T_n(x) + R_n(x)

dengan T_n(x) adalah Deret Taylor dan R_n(x) adalah sisa.

dimana R_n(x) = \dfrac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!} f^{(n+1)}(c)

Dalam kasus khusus jika a = 0, maka disebut Deret MacLaurin atau sering disebut Deret Taylor baku. Dan didefinisikan sebagai berikut Baca lebih lanjut →

Des 26 2012

Penyelesaian Persamaan Linier Orde 1 : Metode Faktor Integral


A(x) \dfrac{dy}{dx} + B(x) = C(x) disebut PD linier orde 1 jika tiap-tiap suku PD diatas apabila dibagi dengan A(x) maka diperoleh bentuk

\dfrac{dy}{dx} + \dfrac{B(x)}{A(x)} y = \dfrac{C(x)}{A(x)}

misal P(x) = \dfrac{B(x)}{A(x)} dan Q(x) = \dfrac{C(x)}{A(x)} maka

\dfrac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x) … (i)

untuk menyelesaiakn PD ini, disini pertama kita akan membahas dengan metode Faktor Integral.

misal faktor integral nya adalah e^{\displaystyle \int P(x) ~dx}, kalikan kedua ruas PD (i) dengan faktor integralnya, diperoleh :

\dfrac{dy}{dx} e^{\displaystyle \int P(x) ~dx} + P(x) ~y ~e^{\displaystyle \int P(x) ~dx} = Q(x) e^{\displaystyle \int P(x) ~dx} … (ii)

jika diambil y e^{\int P(x) dx} dan diturunkan kedua ruas [Turunan Aturan Perkalian], maka diperoleh turunan pertamanya

\dfrac{d}{dx} \left(y e^{\displaystyle \int P(x) ~dx} \right) = \dfrac{dy}{dx} e^{\displaystyle \int P(x) ~dx} + P(x) ~y ~e^{\displaystyle \int P(x) ~dx} Baca lebih lanjut →

Des 24 2012

Penyelesaian Persamaan Diferensial : PD Tidak Eksak (Faktor Integral)


Persamaan Diferensial Tidak Eksak adalah suatu PD tingkat satu dan berpangkat satu yang berbentuk

M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 … (i)

dan memenuhi syarat

\dfrac{\partial M(x,y)}{\partial y} \neq \dfrac{\partial N(x,y)}{\partial x}

Penyelesaian PD tidak eksak dapat diperoleh dengan dengan mengalikan PD (i) dengan suatu fungsi u yang disebut Faktor Integral (FI), sehingga diperoleh PD eksak yaitu

u ~M(x, y) ~dx + u ~N(x, y) ~dy = 0 … (ii) Baca lebih lanjut →

Des 18 2012

Penyelesaian Persamaan Diferensial : PD Tidak Homogen


Persamaan Diferensial Tidak Homogen adalah PD yang mempunyai bentuk

(ax + by + c) dx + (px + qy + r) dy = 0 … (i)

dengan a, b, c, p, q, r adalah konstanta.

Untuk menyelesaikan PD tersebut, terlebih dahulu harus perhatikan kemungkian-kemungkinan yang terjadi, yaitu :

(a) jika \dfrac{a}{p} \neq \dfrac{b}{q} \neq \dfrac{c}{r} atau aq -bp \neq 0

(b) jika \dfrac{a}{p} = \dfrac{b}{q} \neq \dfrac{c}{r} atau aq -bp = 0

(c) jika \dfrac{a}{p} = \dfrac{b}{q} = \dfrac{c}{r} = m Baca lebih lanjut →