Subgrup


Dalam teori himpunan, jika dipunyai himpunan, pasti himpunan tersebut mempunyai subhimpunan, minimal himpunan kosong dan dirinya sendiri. Demikian halnya dalam teori grup. Jika diberikan satu grup (G,\cdot) dan himpunan tak kosong H, maka H akan menjadi subgrup dari grup G jika H terhadap operasi yang sama dengan operasi G membentuk grup juga.

Definisi 1.                                                     

Jika (G, \cdot) grup dan H himpunan tak kosong dengan H \subseteq G. Maka (H, \cdot) disebut subgrup dari (G, \cdot) jika (H, \cdot) grup.

Contoh 2.

Perhatikan koleksi grup dibawah ini :

1.  (\{ 0 \}, +), (\mathbb{Z}, +), (\mathbb{Q}, +), (\mathbb{R}, +), (\mathbb{C}, +)

2.  (\{0\}, \cdot), (\mathbb{Q} \backslash \{ 0 \}, \cdot), (\mathbb{R} \backslash \{0 \}, \cdot), (\mathbb{C} \backslash \{ 0 \}, \cdot)

Pada masing-masing operasi yaitu + dan \cdot yang merupakan operasi penjumlahan dan perkalian biasa. Setiap grup merupakan subgrup dari grup yang berada disebelah kanannya. Misalnya, (\mathbb{Z}, +) merupakan subgrup dari (\mathbb{Q}, +), (\mathbb{R}, +), dan (\mathbb{C}, +), begitu juga untuk (\mathbb{Q}, +) merupakan subgrup dari (\mathbb{R}, +) dan (\mathbb{C}, +). Selanjutnya, (\mathbb{Q} \backslash \{0\}, \cdot) merupakan subgrup dari (\mathbb{R} \backslash \{0\},\cdot) dan (\mathbb{C} \backslash \{0\}, \cdot) serta (\mathbb{R} \backslash \{0\}, \cdot) merupakan subgrup dari (\mathbb{C} \backslash \{0\},\cdot). Baca lebih lanjut