Tag Archives: determinan

Jul 27 2016

Determinan Matriks dengan Metode Inversi


Fungsi adalah pemetaan setiap anggota suatu himpunan (domain) ke anggota himpunan yang lain (kodomain). Dengan kata lain, tidak ada anggota domain yang tidak dipetakan ke anggota kodomain. Tetapi boleh jadi, ada anggota kodomain yang tidak memiliki pasangan dengan anggota domain. Seperti yang telah diketahui bahwa, ada beberapa jenis fungsi, yaitu Fungsi Injektif (Satu-Satu), Fungsi Serjektif (Pada) dan Fungsi Bijektif (Satu-Satu dan Pada).

Selanjutnya, pemetaan dari himpunan tak kosong A kedirinya sendiri dinamakan Permutasi. Lebih jauh, jika diberikan himpunan A = \{ 1, 2, \ldots , n \}, maka permutasi dapat ditulis sebagai

\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \ldots & n\\ i_1 & i_2 & \ldots & i_n \end{pmatrix}

Atau dapat ditulis juga sebagai \sigma = \{ i_1, i_2, \ldots , i_n \} dengan i_1, i_2, \ldots , i_n adalah n bilangan yang berbeda.

Misal diberikan n = 3, maka

S_3 = \{(1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2), (3,2,1) \}

memuat enam permutasi. Catat bahwa (3,1,3) tidak termuat di permutasi S_3 karena entri-entrinya tidak berbeda semua. Sama halnya dengan (1,2,2) bukan merupakan anggota S_3. Secara umum, banyak anggota dari S_n adalah n! = n(n-1) \cdots 2 \cdot 1. Sebelum memasuki bagaimana menghitung determinan suatu matriks, terlebih dahulu akan diberikan definisi dari Inversi. Berikut definisinya, Baca lebih lanjut →

Mei 2 2016

Invers Matriks Menggunakan Adjoint


Pada blog ini saya sudah menulis bagaimana mencari matriks dengan dua cara yang berbeda, yang pertama menggunakan Operasi Baris Elementer, yaitu dengan membentuk matriks augmentasinya kemudian dilakukan OBE dan cara yang kedua dengan memanfaatkan sifat AB = BA = I di mana B sebagai invers matriks A dan I matriks identitas, yang selanjutnya diselesaikan menggunakan eliminasi (baca di sini). Pada tulisan ini, saya mencoba memanfaatkan matriks adjoint. Apa itu matriks adjoint ? Matriks adjoint itu adalah transpose dari Matriks Kofaktor. Misal $latex A4 adalah suatu matriks yang memiliki invers, maka

A^{-1} = \dfrac{1}{det(A)} Adj(A)

Jadi, dalam menggunakan metode ini, untuk mencari invers suatu matriks, yang dibutuhkan adalah Determinan Matriks itu sendiri dan Adjoin Matriks. Perhatikan contoh berikut.

Contoh 1.

Tentukan invers matriks dari A = \begin{bmatrix} 2&-1&3\\ 0&4&5\\ 2&1&4 \end{bmatrix}.

Karena A matriks 3 \times 3, maka untuk mudahnya dalam menentukan determinan, digunakan Metode Sarrus. Baca lebih lanjut →

Des 15 2015

Determinan Matriks dengan Metode CHIO


Determinan merupakan suatu fungsi dari himpunan semua matriks persegi ke himpunan semua bilangan real. Determinan matriks A biasanya dinyatakan oleh |A| atau det(A). Terdapat beberapa metode yang digunakan untuk menentukan determinan matriks yaitu metode Sarrus, Ekspansi Kofaktor, dan Kondensasi (Penyusutan) CHIO. Kondensasi CHIO merupakan salah satu metode yang dapat digunakan dalam menentukan determinan matriks yang memiliki ordo n \times n dengan n \geq 3.
Kondensasi CHIO menyusutkan determinan matriks ordo n \times n menjadi ordo (n-1) \times (n-1) dan dikalikan dengan elemen a_{11}. Proses kondensasi ini berakhir pada determinan matriks ordo 2 \times 2. Tanpa mengurangi perumuman, dalam tulisan ini menggunakan matriks persegi dengan syarat elemen a_{11} \neq 0. Apabila nilai elemen a_{11} = 0 maka dilakukan proses operasi baris/kolom yaitu menukarkan baris/kolom pada determinan matriks untuk memperoleh a_{11} \neq 0.

Perhatikan untuk matrik dengan ordo 3 \times 3. Persamaan yang digunakan untuk metode CHIO ini sebagai berikut.

det(A) = \dfrac{1}{(a_{11})^{3-2}} \begin{vmatrix} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix}\\ &\\ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} \end{vmatrix}

Selanjutnya untuk matrik dengan ordo 4 \times 4. Persamaan yang digunakan untuk metode CHIO ini sebagai berikut. Baca lebih lanjut →

Sep 16 2012

Sifat-Sifat Determinan Matriks


Berikut sifat-sifat determinan yang terdapat pada matriks.

  1. Jika A adalah sebarang matriks kuadrat yang mengandung sebaris bilangan nol, maka det(A) = 0.

    Contoh :

    misal matriks A = \left [ \begin{array}{rrr} 1& 2& 3\\ 1& 0& 1\\ 0& 0& 0 \end{array} \right ]

    dengan menggunakan Aturan Kofaktor, maka

    det(A) = \left | \begin{array}{rrr} 1& 2& 3\\ 1& 0& 1\\ 0& 0& 0 \end{array} \right |

    = a31M31 – a32M32 + a33M33

    = 0\left | \begin{array}{rr} 2& 3\\ 0& 1 \end{array} \right | – 0\left | \begin{array}{rr} 1& 3\\ 1& 1 \end{array} \right | + 0\left | \begin{array}{rr} 1& 2\\ 1& 0 \end{array} \right |

    = 0(2.1 – 3.0) – 0(1.1 – 1.3) + 0(1.0 – 1.2)

    = 0 Baca lebih lanjut →

Sep 14 2012

Menghitung Determinan Menggunakan Eselon Baris


Definisi 1.

Misalkan A adalah matriks kuadrat. Fungsi determinan dinyatakan oleh det, dan kita definisikan det(A) sebagai jumlah semua hasil kali elementer beranda dari A. Jumlah det(A) kita namakan determinan A.

Jika kita punya matriks A2×2, = \left [ \begin{array}{rr} a_{11} &a_{12}\\ a_{21} &a_{22} \end{array} \right ] maka det(A) = a11a22 – a12a21.

Kemudian jika kita punya matriks B3×3 = \left [ \begin{array}{rrr} a_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33} \end{array} \right ] maka

det(B) = a11a22a33 – a12a23a31 – a13a21a32 – a13a22a31 – a12a21a33 – a11a23a32. Baca lebih lanjut →

Sep 13 2012

Menghitung Determinan Matriks Menggunakan Kofaktor


Pada tulisan ini saya akan membagikan sidikit ilmu yang saya dapat tentang bagaimana cara menghitung determinan matriks. Metode yang digunakan adalah menggunakan Ekspansi Kofaktor. Metode ini tidak hanya digunakan untuk menghitung determinan matriks 2 \times 2 atau 3 \times 3 tapi digunakan untuk matriks yang berordo lebih besar lagi seperti, 4 \times 4, 5 \times 5 dan seterusnya. Untuk menghitung determinan menggunakan metode ini, rumusnya dijamin oleh Teorema berikut. Baca lebih lanjut →

Apr 4 2012

Menghitung Determinan Matriks Menggunakan Ms. Excel 2007


Selanjutnya bagaimana menghitung determinan Matriks menggunakan Ms. Excel 2007. Berikut langkah-langkahnya :

  1. Siapkan matriks yang ingin dihitung, misalnya kita gunakan hasil perkalian matriks sebelumnya :

    Photobucket

  2. Misalnya kita ingin menghitung determinan matriks yang terletak pada range J3:L5 dan kita ingin meletakkan hasil perhitungan determinannya pada range K7, maka pada range K7 ketik formula =MDETERM(J3:L5)

    Setelah itu, tekan Enter
    Photobucket

  3. Hasilnya seperti gambar dibawah ini

Photobucket

Selamat mencoba dan semoga berhasil