Ruang Vektor


Definisi 1.

Diberikan (F,+,\cdot) adalah sebarang lapangan dan misalkan V suatu himpunan tak kosong V disebut ruang vektor atas F jika terdapat operasi biner + (penjumlahan vektor dan \cdot (perkalian skalar) sehingga untuk setiap u,v,w \in V dan \alpha, \beta \in F memenuhi aksioma-aksioma di bawah ini.

1.  Tertutup dibawah penjumlahan vektor

u+v \in V

2.  Asosiatif

u + (v + w) = (u + v) + w

3.  Terdapat identitas penjumlahan

\exists 0_V \in V \ni 0_V + u = u + 0_V

4.  Terdapat invers penjumlahan

\forall u \in V, \exists -u \in V \ni u+(-u) = (-u)+u = 0_V

5.  Komutatif

u + v = v + u

6.  Tertutup dibawah perkalian skalar

\alpha u \in V

7.  Distributif

\alpha (u+v) = \alpha u + \alpha v

8.  Distributif

(\alpha + \beta)u = \alpha u + \beta u

9.  \alpha(\beta u) = (\alpha \beta)u

10.1_F \cdot u = u

Jika diperhatikan aksioma 1 sampe aksioma 5 merupakan aksioma-aksioma Grup Komutatif. Perlu diperhatikan juga bahwa operasi yang ada pada ruang vektor ini ada empat. Yang pertama, operasi penjumlahan “+” pada vektor itu sendiri. Kedua, ada penjumlahan pada lapangan (skalar). Selanjutnya ada operasi perkalian “\cdot” antar skalar. Dan yang terakhir operasi perkalian antar vektor dan skalar. Oleh karena itu, perlu hati-hati dalam mengecek apakah suatu himpunan termasuk ruang vektor atau bukan. Baca lebih lanjut