Problem (15) : Menyelesaikan Tiga Persamaan dengan OBE


Terpikir dalam kepala, apakah penjelasan yang saya paparkan dalam blog ini masih terlalu ribet ? Inin terpikir setelah salah satu pengunjung bertanya lewat email tentang mencari solusi persamaan. Melalui tulisan ini mencoba untuk menjabarkan langkah demi langkah untuk penyelesaian tiga persamaan sebagai berikut :

2x + 4y + 5z = 36

x + 3y +   z = 13

3x + 5y + 2z = 29

Untuk menyelesaikan ini bisa kita gunakan Operasi Baris Elementer (OBE) atau menggunakan eliminasi / substitusi seperti yang telah diajarkan di sekolah. Tapi disini saya akan menyelesaiakn persamaan tersebut dengan OBE.

  1. Jika 3 persamaan diatas diubah kedalam matriks, maka diperoleh seperti dibawah ini

    \left [\begin{array}{rrr} 2& 4& 5\\ 1& 3& 1\\ 3& 5& 2 \end{array} \right ] \left [\begin{array}{rrr} x\\ y\\ z \end{array} \right ] = \left [\begin{array}{rrr} 36\\ 13\\ 29 \end{array} \right ]

    Langkah ini hanya ingin menunjukkan persamaan diatas dapat dibentuk menjadi suatu matriks dengan solusinya yaitu x, y dan z.

  2. Kemudian bentuk tiga persamaan diatas kedalam matriks yang diperbesar

    \left[ \left.\begin{matrix} 2& 4& 5\\ 1& 3& 1\\ 3& 5& 2 \end{matrix}\right| \begin {array}{rrr} 36\\ 13\\ 29\end {array}\right]

  3. Setelah dibentuk matriks diperbesar ini, baru kita lakukan OBE dengan mereduksi kedalam bentuk Eselon Baris atau bentuk Eseleon Baris Tereduksi.

    ubah terlebih dahulu baris pertama kolom paling kiri (a11 := baris 1, kolom 1) sedemikian sehingga entry matriksnya menjadi 1.

    baris 1 : B1 : 2

    \left[ \left.\begin{matrix} 1& 2& \frac{5}{2}\\ 1& 3& 1\\ 3& 5& 2 \end{matrix}\right| \begin {array}{rrr} 18\\ 13\\ 29\end {array}\right]

    ubah entry-entry dibawah a11 menjadi nol.

    baris 2 : B2 – B1 dan baris 3 : B3 – 3B1

    \left[ \left.\begin{matrix} 1& 2& \frac{5}{2}\\ 0& 1& -\frac{3}{2}\\ 0& -1& -\frac{11}{2}\end{matrix}\right| \begin {array}{rrr} 18\\ -5\\ -25\end {array}\right]

    sekarang perhatikan entry a22 (baris 2, kolom 2), kita harus ubah entrynya menjadi 1, tapi berhubung entry a22 sudah bernilai 1. Maka langkah selanjutnya yaitu mengubah entry yang dibawah a22 menjadi nol.

    baris 3 : B3 + B2

    \left[ \left.\begin{matrix} 1& 2& \frac{5}{2}\\ 0& 1& -\frac{3}{2}\\ 0& 0& -7\end{matrix}\right| \begin {array}{rrr} 18\\ -5\\ -30\end {array}\right]

    setelah ini ubah lagi entry a33 (baris 3, kolom 3) sedemikian sehingga entrynya bernilai 1.

    baris 3 : B3 : -7

    \left[ \left.\begin{matrix} 1& 2& \frac{5}{2}\\ 0& 1& -\frac{3}{2}\\ 0& 0& 1\end{matrix}\right| \begin {array}{rrr} 18\\ -5\\ \frac{30}{7}\end {array}\right]

    matriks terakhir ini sudah berbentuk Eselon Baris, sampai sini kita langsung bisa hitung solusinya, yaitu

    baris 3 diperoleh : z = \dfrac{30}{7}

    baris 2 diperoleh : y - \dfrac{3}{2}z = -5

    y - \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{30}{7} = -5 (substitusi “z“)

    y = -5 + \dfrac{45}{7} = -\dfrac{35}{7} + \dfrac{45}{7} = \dfrac{10}{7}

    baris 3 diperoleh : x + y + \dfrac{5}{2} z = 18

    x + \dfrac{10}{7} + \dfrac{5}{2} \cdot \dfrac{30}{7} = 18

    x + \dfrac{10}{7} + \dfrac{75}{7} = \dfrac{126}{7}

    x = \dfrac{126}{7} - \dfrac{95}{7} = \dfrac{31}{7}

jadi solusi dari persamaan diatas adalah x = -\dfrac{31}{7}, y = \dfrac{10}{7} dan z = \dfrac{30}{7}

Operasi Baris Elementer


Untuk menentukan solusi dari SPL dilakukan dengan cara membentuk matrik yang diperluas/diperbesar dari SPL dan melakukan Operasi Baris Elementer (OBE) pada matriks yang diperbesar tersebut. OBE ini didapatkan dalam suatu tahapan dengan menerapkan ketiga tipe operasi berikut untuk menghilangkan bilangan-bilangan tak diketahui secara sistematik. Baca lebih lanjut