Isomorfisma Grup


Definisi 1.

Diberikan grup G dan G_1. Homomorfisma f : G \to G_1 disebut epimorfisma jika f fungsi pada (surjektif) pada G_1 dan f disebut monomorfisma jika f fungsi satu-satu (injektif).

Contoh 2.

Diberikan grup R^* yaitu grup bilangan riil tak nol terhadap operasi perkalian. Didefinisikan f : R^* \to R^* dengan f(a)=|a|. Apakah f epimorfisma atau monomorfisma ?

Ambil sebarang a,b \in R^*. Diperoleh

f(ab) = |ab| = |a||b| = f(a)f(b).

Jadi, f homomorfisma. Selanjutnya akan diselidiki apakah f epimorfisma atau monomorfisma. Karena f(1)=1 dan f(-1)=1. Beakibat terdapat 1,-1 \in R^* yang 1 \neq -1 sedemikian hingga f(1)=f(-1). Jadi, f bukan monomorfisma.

Dari definisi f(a)=|a|, jelas terlihat bahwa tidak mungkin menemukan pasangan di domain jika mengambil -1 \in R^* di kodomain. Jadi, f bukan epimorfisma. \square Baca lebih lanjut

Kernel dan Image Homomorfisma Grup


Selanjutnya telah diketahui bahwa homomorfisma f dari G ke G_1 selalu memetakan e \in G ke e_1 \in G_1. Tetapi ada juga anggota lain di G yang dipetakan ke e_1. Sehingga apabila dihimpun anggota-anggota di G yang dipetakan ke e_1, akan membentuk definisi baru yang memiliki struktur. Berikut diberikan definisi

Definisi 1.

Diberikan f : G \to G_1 homomorfisma grup, maka kernel dari f, dinotasikan Ker(f), didefinisikan sebagai berikut.

Ker(f) = f^{-1}(e_1) = \{ a \in G| f(a)=e_1 \}

dengan e_1 identitas di G_1.

Contoh 2.

Diberikan homomorfisma grup f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_8 dengan definisi f(a) = a \mod 8. Tentukan kernel dari f.

Ker(f) = \{ a \in \mathbb{Z} | f(a)=[0] \}

= \{ a \in \mathbb{Z} | a \mod 8 = [0] \}

= \{ a \in \mathbb{Z} | a = 8n, n \in \mathbb{Z} \}

= \{ 8n | n \in \mathbb{Z} \}

= 8\mathbb{Z}. \square Baca lebih lanjut

Homomorfisma Grup


Pada tulisan ini akan berfokus pada pemetaan antar grup. Pemetaan ini akan didefinisikan dengan mempertahankan (mengawetkan) struktur aljabar yaitu grup. Lebih jauh, misal diberikan fungsi f dari grup G ke grup G_1 dengan * dan *_1 merupakan operasi pada G dan G_1.

Sebagai contoh, diberikan fungsi f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+ yang didefinisikan f(a) = e^a untuk setiap a \in \mathbb{R}. Perhatikan, ambil sebarang a,b \in \mathbb{R}

f(a+b) = e^{a+b} = e^a \cdot e^b = f(a) \cdot f(b)

Jadi, f(a+b) = f(a) \cdot f(b).

Contoh tersebut merupakan motivasi dari definisi homomorfisma grup.

Definisi 1.

Diberikan grup (G,*) dan (G_1,*_1) serta f fungsi dari G ke G_1. Maka f disebut homomorfisma jika untuk setiap a,b \in G, berlaku

f(a*b) = f(a) *_1 f(b)

Identitas pada grup G dan G_1 berturut-turut dinotasikan dengan e dan e_1.

Setiap pemetaan dari grup G dan G_1 pasti dapat ditemukan homomorfisma. Karena setiap grup pasti memiliki elemen identitas maka G_1 identitasnya e_1. Definisikan f : G \to G_1 dengan f(a)=e_1 untuk semua a \in G. Perhatikan,

f(a*b) = e_1 = e_1 *_1 e_1 = f(a) *_1 f(b)

Jadi, f merupakan homomorfisma dari G ke G_1. Baca lebih lanjut

Problem (8) : Fungsi


soal dikirim via email

  1. Fungsi f memetakan setiap bilangan asli ganjil ke-2, dan setiap
    bilangan asli genap ke 2. Tentukan :

    a. Peta bagi 5 dan 8,

    b. Domain f,

    c. Range f.

    PEMBAHASAN :

    a. karena 5 merupakan bilangan ganjil, maka 5 akan dipetakan ke -2 dan krena 8 merupakan bilangan genap, maka 8 akan dipetakan ke 2. Jadi f(5) = -2 dan f(8) = 2. Baca lebih lanjut

Pasangan Terurut (Ordered Pairs)


Pasangan Terurut (Ordered Pairs) adalah pengaitan dua buah anggota himpunan dengan memperhatikan urutan. Beda halnya pada himpunan, pasangan dua anggota pada himpunan tidak memperhatikan urutan, misal A = (1, 2) dan B = (2, 1), maka A = B, tapi pada pasangan terurut tidak berlaku. Misalkan pasangan terurut terdiri atas dua buah elemen yaitu a dan b dengan notasi (a, b), ini artinya bahwa pasangan terurut dua anggota suatu himpunan dengan urutan pertama a dan urutan kedua b. Oleh karena itu, jika a \neq b maka (a, b) \neq (b, a). Secara matematis, ditulis sebagai berikut. Baca lebih lanjut

Fungsi Balikan (Invers)


Misalkan f merupakan fungsi dari A ke B dan misalkan b \epsilon B, maka invers dari b dinotasikan oleh f-1(b), yang terdiri dari anggota-anggota A yang dipetakan pada b, yaitu anggota-anggota dalam A yang memiliki b sebagai hasil pemetaannya.

Definisi :

Jika f : A \rightarrow B, maka dikatakan dapat dibalik (invertible) jika terdapat fungsi g : B \rightarrow A sedemikian sehingga f o g = IA dan g o f = IB

Baca lebih lanjut

Komposisi Fungsi


Komposisi Fungsi dikenal juga dengan penggandaan atau perkalian fungsi. Jika dua fungsi digandakan yaitu fungsi f dan fungsi g, ditulis g o f jika dan hanya jika kodomain f subset dari domain g. Secara matematis dapat ditulis sebagai berikut.

Definisi :

Misalkan f : A \rightarrow B dan g : C \rightarrow D adalah suatu fungsi sehingga Rf \subseteq Df. Komposisi Fungsi f dan g, dengan notasi g o f, didefinisikan dengan (g o f)(x) = g(f(x)), \forall x \epsilon Df.

Baca lebih lanjut

Pembahasan Soal Persamaan dan Fungsi Kuadrat UN SMA


  1. Persamaan kuadrat x2 – 5x + 6 = 0 mempunyai akar – akar x1 dan x2. Persamaan kuadrat yang akar – akarnya x1 – 3 dan x2 – 3 adalah …

    A. x2 – 2x = 0

    B. x2 – 2x + 30 = 0

    C. x2 + x = 0

    D. x2 + x – 30 = 0

    E. x2 + x + 30 = 0

    PEMBAHASAN : Baca lebih lanjut