Sifat-Sifat Grup Siklik


Jika dipunyai grup siklik G dengan pembangun a maka a^{-1} juga pembangun dari G.

Dengan mengambil sebarang x \in G, berakibat x=a^n untuk suatu n \in \mathbb{Z}. Karena G grup, berakibat untuk setiap anggota di G, invers-nya juga ada di G, yaitu x^{-1} \in G. Dapat ditulis x^{-1} = (a^n)^{-1} = (a^{-1})^n. Dengan kata lain, G juga dibangun oleh a^{-1}.

Contoh 1.

Buktikan bahwa 1 dan -1 merupakan pembangun (generator) dari \mathbb{Z}.

Jelas bahwa \mathbb{Z} dibangun oleh 1. Karena untuk sebarang n \in \mathbb{Z}, n dapat dinyatakan sebagai penjumlahan 1 sebanyak n, yaitu n = 1+1+\ldots +1=1^n. Selanjutnya berdasarkan sifat di atas, dapat disimpulkan bahwa -1 juga membangun \mathbb{Z}. \square

Definisi 2.

Diberikan G grup dan a \in G. Didefinisikan order dari a sebagai banyaknya elemen \langle a \rangle yang dilambangkan dengan o(a) = |\langle a \rangle |. Jika \langle a \rangle tak hingga maka dikatakan a berorder tak hingga. Baca lebih lanjut