Tag Archives: grup siklik

Jan 25 2016

Sifat-Sifat Grup Siklik


Jika dipunyai grup siklik G dengan pembangun a maka a^{-1} juga pembangun dari G.

Dengan mengambil sebarang x \in G, berakibat x=a^n untuk suatu n \in \mathbb{Z}. Karena G grup, berakibat untuk setiap anggota di G, invers-nya juga ada di G, yaitu x^{-1} \in G. Dapat ditulis x^{-1} = (a^n)^{-1} = (a^{-1})^n. Dengan kata lain, G juga dibangun oleh a^{-1}.

Contoh 1.

Buktikan bahwa 1 dan -1 merupakan pembangun (generator) dari \mathbb{Z}.

Jelas bahwa \mathbb{Z} dibangun oleh 1. Karena untuk sebarang n \in \mathbb{Z}, n dapat dinyatakan sebagai penjumlahan 1 sebanyak n, yaitu n = 1+1+\ldots +1=1^n. Selanjutnya berdasarkan sifat di atas, dapat disimpulkan bahwa -1 juga membangun \mathbb{Z}. \square

Definisi 2.

Diberikan G grup dan a \in G. Didefinisikan order dari a sebagai banyaknya elemen \langle a \rangle yang dilambangkan dengan o(a) = |\langle a \rangle |. Jika \langle a \rangle tak hingga maka dikatakan a berorder tak hingga. Baca lebih lanjut →

Jan 21 2016

Grup Siklik


Misalkan G grup dan H subgrup G. Jika a \in H maka a^2=aa \in H, a^3=aaa \in H, …, a^n \in H dan a^{-1} \in H, a^{-2}=a^{-1}a^{-1} \in H, …, a^{-n} \in H. Dengan demikian suatu subgrup yang memuat a haruslah memuat a^n untuk setiap n \in \mathbb{Z}. Hal ini mendasari terbentuknya grup siklik. Sebelum lebih jauh, perhatikan teorema berikut ini.

Teorema 1.

Diberikan G grup dan a \in G. Maka H = \{ a^n ~|~ n \in \mathbb{Z} \} merupakan subgrup G dan H adalah subgrup terkecil yang memuat a.

Bukti.

Ambil sebarang a^s,a^t \in H untuk suatu s,t \in \mathbb{Z}, berakibat a^s a^t = a^{s+t}. Karena s,t \in \mathbb{Z}, berakibat s+t \in \mathbb{Z}. Sehingga a^s a^t \in \mathbb{Z}. Jadi, H tertutup terhadap perkalian. Selanjutnya, akan dicari elemen identitas a^n \in H sedemikian hingga a^s a^n = a^n a^s = a^s untuk sebarang a^s. Perhatikan a^s a^n = a^{s+n} = a^s, diperoleh s+n=s, berakibat n=0. Dengan cara yang sama untuk a^n a^s = a^s diperoleh a^n = a^0. Jadi, a^0 merupakan identitas di H. Selanjutnya akan ditunjukkan a^b merupakan elemen invers di H sedemikian hingga a^s a^b = a^b a^s = a^0. Dengan cara yang sama seperti mencari elemen identitas, diperoleh a^b = a^{-s}. Jadi, a^{-s} merupakan elemen invers untuk a^s. Jadi, H merupakan subgrup G.

Ambil sebarang subgrup lain yang memuat a, sebut H'. Akan ditunjukkan H' memuat H. Karena H' merupakan subgrup yang memuat a, berakibat a^n \in H' untuk setiap n \in \mathbb{Z} karena sifat ketertutupan H'. Jadi H' memuat H. \blacksquare Baca lebih lanjut →