Ring


Pada tulisan sebelumnya sudah dibahas tentang sistem matematika dengan satu operasi biner yang memenuhi aksioma tertentu, yaitu Grup. Selanjutnya, terdapat sistem matematika dengan dua operasi biner yaitu penjumlahan dan perkalian, yakni dinamakan Ring. Misal dipunyai himpunan R tak kosong dengan operasi biner + dan \cdot, R disebut Ring jika memenuhi beberapa aksioma yaitu R terhadap operasi + merupakan Grup Komutatif dan R terhadap operasi \cdot bersifat asosiatif serta R terhadap operasi + dan \cdot bersifat distributif, baik kiri maupun kanan. Berikut diberikan definisi lengkapnya.

Definisi 1.

Misal R adalah himpunan tak kosong dengan dua operasi biner, yaitu operasi penjumlahan + dan perkalian \cdot. Maka R adalah ring jika memenuhi:

a.  Untuk setiap a,b,c \in R berlaku (a+b)+c=a_(b+c).

b.  Terdapat elemen identitas e \in R sedemikian hingga a+0=0+a=a untuk setiap a \in R.

c.  Untuk setiap a \in R, terdapat a^{-1} \in R sedemikian hingga a+a^{-1} = a^{-1}a = e.

d.  Untuk setiap a,b \in R berlaku a+b=b+a.

e.  Untuk setiap a,b,c \in R berlaku (a \cdot b ) \cdot c = a \cdot (b \cdot c).

f.  Untuk setiap a,b,c \in R berlaku a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c dan (b + c) \cdot a = b \cdot a + c \cdot a.

Contoh ring yang paling terkenal adalah bilangan bulat \mathbb{Z}, rasional \mathbb{Q}, riil \mathbb{R} dan kompleks \mathbb{C} terhadap operasi penjumlahan dan perkalian biasa. Baca lebih lanjut

Homomorfisma Grup


Pada tulisan ini akan berfokus pada pemetaan antar grup. Pemetaan ini akan didefinisikan dengan mempertahankan (mengawetkan) struktur aljabar yaitu grup. Lebih jauh, misal diberikan fungsi f dari grup G ke grup G_1 dengan * dan *_1 merupakan operasi pada G dan G_1.

Sebagai contoh, diberikan fungsi f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+ yang didefinisikan f(a) = e^a untuk setiap a \in \mathbb{R}. Perhatikan, ambil sebarang a,b \in \mathbb{R}

f(a+b) = e^{a+b} = e^a \cdot e^b = f(a) \cdot f(b)

Jadi, f(a+b) = f(a) \cdot f(b).

Contoh tersebut merupakan motivasi dari definisi homomorfisma grup.

Definisi 1.

Diberikan grup (G,*) dan (G_1,*_1) serta f fungsi dari G ke G_1. Maka f disebut homomorfisma jika untuk setiap a,b \in G, berlaku

f(a*b) = f(a) *_1 f(b)

Identitas pada grup G dan G_1 berturut-turut dinotasikan dengan e dan e_1.

Setiap pemetaan dari grup G dan G_1 pasti dapat ditemukan homomorfisma. Karena setiap grup pasti memiliki elemen identitas maka G_1 identitasnya e_1. Definisikan f : G \to G_1 dengan f(a)=e_1 untuk semua a \in G. Perhatikan,

f(a*b) = e_1 = e_1 *_1 e_1 = f(a) *_1 f(b)

Jadi, f merupakan homomorfisma dari G ke G_1. Baca lebih lanjut

Grup Faktor


Pada tulisan sebelumnya tentang Subgrup Normal, jika diberikan grup S_3 dan subgrup H = \left\{ \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 1&2&3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 2&1&3 \end{pmatrix} \right\}, telah diketahui bahwa H bukan subgrup normal dari S_3. Dengan kata lain bahwa, terdapat koset kiri yang tidak sama dengan koset kanan. Sehingga apabila dihimpun semua koset kiri H dari S_3, yaitu

S_3/H = \{ aH ~|~ a \in S_3 \} = \left\{ H, \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 1&2&3 \end{pmatrix} H, \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 2&1&3 \end{pmatrix} H \right\}

Kemudian didefiniskan operasi “*” pada S_3/H yaitu untuk sebarang aH, bH \in S_3/H dengan definisi (aH)(bH) = (ab)H. Apakah operasi * pada S_3/H well defined ?

Diketahui bahwa \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 3&2&1 \end{pmatrix} H = \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 2&3&1 \end{pmatrix} H dan \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 1&3&2 \end{pmatrix} H = \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 3&2&1 \end{pmatrix} H. Menggunakan definisi di atas, diperoleh Baca lebih lanjut

Sifat-Sifat Subgrup Normal


Setelah penjelasan Subgrup Normal pada tulisan sebelumnya, selanjutnya diberikan beberapa sifat pada subgrup normal.

Teorema 1.

Setiap subgrup dari grup komutatif merupakan subgrup normal.

Bukti.

Diketahui G grup komutatif dan H subgrup G. Ambil sebarang g \in G. Akan dibuktikan gH = Hg. Karena G grup komutatif, maka untuk sebarang h \in H \subseteq G berakibat gh=hg. Perhatikan

gH = \{ gh~|~h \in H \} = \{ hg~|~ h \in H \} = Hg.

Jadi, H subgrup normal dari G. \blacksquare

Dengan teorema di atas, apabila diberikan grup komutatif, maka pasti subgrupnya adalah normal. Selanjutnya diberikan karakteristik subgrup normal. Baca lebih lanjut

Sifat-Sifat Grup Siklik


Jika dipunyai grup siklik G dengan pembangun a maka a^{-1} juga pembangun dari G.

Dengan mengambil sebarang x \in G, berakibat x=a^n untuk suatu n \in \mathbb{Z}. Karena G grup, berakibat untuk setiap anggota di G, invers-nya juga ada di G, yaitu x^{-1} \in G. Dapat ditulis x^{-1} = (a^n)^{-1} = (a^{-1})^n. Dengan kata lain, G juga dibangun oleh a^{-1}.

Contoh 1.

Buktikan bahwa 1 dan -1 merupakan pembangun (generator) dari \mathbb{Z}.

Jelas bahwa \mathbb{Z} dibangun oleh 1. Karena untuk sebarang n \in \mathbb{Z}, n dapat dinyatakan sebagai penjumlahan 1 sebanyak n, yaitu n = 1+1+\ldots +1=1^n. Selanjutnya berdasarkan sifat di atas, dapat disimpulkan bahwa -1 juga membangun \mathbb{Z}. \square

Definisi 2.

Diberikan G grup dan a \in G. Didefinisikan order dari a sebagai banyaknya elemen \langle a \rangle yang dilambangkan dengan o(a) = |\langle a \rangle |. Jika \langle a \rangle tak hingga maka dikatakan a berorder tak hingga. Baca lebih lanjut

Grup Siklik


Misalkan G grup dan H subgrup G. Jika a \in H maka a^2=aa \in H, a^3=aaa \in H, …, a^n \in H dan a^{-1} \in H, a^{-2}=a^{-1}a^{-1} \in H, …, a^{-n} \in H. Dengan demikian suatu subgrup yang memuat a haruslah memuat a^n untuk setiap n \in \mathbb{Z}. Hal ini mendasari terbentuknya grup siklik. Sebelum lebih jauh, perhatikan teorema berikut ini.

Teorema 1.

Diberikan G grup dan a \in G. Maka H = \{ a^n ~|~ n \in \mathbb{Z} \} merupakan subgrup G dan H adalah subgrup terkecil yang memuat a.

Bukti.

Ambil sebarang a^s,a^t \in H untuk suatu s,t \in \mathbb{Z}, berakibat a^s a^t = a^{s+t}. Karena s,t \in \mathbb{Z}, berakibat s+t \in \mathbb{Z}. Sehingga a^s a^t \in \mathbb{Z}. Jadi, H tertutup terhadap perkalian. Selanjutnya, akan dicari elemen identitas a^n \in H sedemikian hingga a^s a^n = a^n a^s = a^s untuk sebarang a^s. Perhatikan a^s a^n = a^{s+n} = a^s, diperoleh s+n=s, berakibat n=0. Dengan cara yang sama untuk a^n a^s = a^s diperoleh a^n = a^0. Jadi, a^0 merupakan identitas di H. Selanjutnya akan ditunjukkan a^b merupakan elemen invers di H sedemikian hingga a^s a^b = a^b a^s = a^0. Dengan cara yang sama seperti mencari elemen identitas, diperoleh a^b = a^{-s}. Jadi, a^{-s} merupakan elemen invers untuk a^s. Jadi, H merupakan subgrup G.

Ambil sebarang subgrup lain yang memuat a, sebut H'. Akan ditunjukkan H' memuat H. Karena H' merupakan subgrup yang memuat a, berakibat a^n \in H' untuk setiap n \in \mathbb{Z} karena sifat ketertutupan H'. Jadi H' memuat H. \blacksquare Baca lebih lanjut

Karakteristik Subgrup


Pada tulisan sebelumnya tentang Subgrup, sudah dijelaskan mengenai definisi dan beberapa sifat serta contoh. Apakah untuk mengecek suatu subgrup atau bukan hanya melalui definisi ?  Jawabannya TIDAK. Berikut diberikan beberapa karakteristik subgrup.

Teorema 1.

Diberikan G grup dan H \subseteq G yang tak kosong. Maka H subgrup dari G jika dan hanya jika untuk setiap a, b \in H berlaku ab^{-1} \in H.

Bukti.

Diketahui H subgrup dari G, ambil sebarang a,b \in H. Karena H subgrup maka terdapat b^{-1} \in H. Berdasarkan sifat ketertutupan subgrup H maka ab^{-1} \in H. Untuk arah sebaliknya, akan ditunjukkan H subgrup. Ekuivalen dengan menunjukkan terdapat identitas e \in H dan untuk sebarang a, b \in H memenuhi ab\in H (sifat tertutup subgrup) serta memiliki invers yaitu a^{-1} sedemikian hingga aa^{-1}=e. Diketahui H \neq \emptyset, H \subseteq G dan ab^{-1} \in H. Berdasarkan yang diketahui, pilih a=b sedemikian sehingga aa^{-1}=e \in H. Ambil sebarang a,b \in H. Berdasarkan yang sudah dibuktikan diperoleh e \in H. Sesuai dengan yang diketahui b^{-1}=eb^{-1} \in H, akibatnya ab=a(b^{-1})^{-1} \in H. Jadi sifat tertutup terpenuhi. Karena e \in H berakibat a^{-1}=ea^{-1} \in H. Jadi setiap a \in H mempunyai invers di H. Sifat asosiatif sudah diturunkan dari sifat grup G. Jadi H merupakan subgrup. \blacksquare

Baca lebih lanjut

Subgrup


Dalam teori himpunan, jika dipunyai himpunan, pasti himpunan tersebut mempunyai subhimpunan, minimal himpunan kosong dan dirinya sendiri. Demikian halnya dalam teori grup. Jika diberikan satu grup (G,\cdot) dan himpunan tak kosong H, maka H akan menjadi subgrup dari grup G jika H terhadap operasi yang sama dengan operasi G membentuk grup juga.

Definisi 1.                                                     

Jika (G, \cdot) grup dan H himpunan tak kosong dengan H \subseteq G. Maka (H, \cdot) disebut subgrup dari (G, \cdot) jika (H, \cdot) grup.

Contoh 2.

Perhatikan koleksi grup dibawah ini :

1.  (\{ 0 \}, +), (\mathbb{Z}, +), (\mathbb{Q}, +), (\mathbb{R}, +), (\mathbb{C}, +)

2.  (\{0\}, \cdot), (\mathbb{Q} \backslash \{ 0 \}, \cdot), (\mathbb{R} \backslash \{0 \}, \cdot), (\mathbb{C} \backslash \{ 0 \}, \cdot)

Pada masing-masing operasi yaitu + dan \cdot yang merupakan operasi penjumlahan dan perkalian biasa. Setiap grup merupakan subgrup dari grup yang berada disebelah kanannya. Misalnya, (\mathbb{Z}, +) merupakan subgrup dari (\mathbb{Q}, +), (\mathbb{R}, +), dan (\mathbb{C}, +), begitu juga untuk (\mathbb{Q}, +) merupakan subgrup dari (\mathbb{R}, +) dan (\mathbb{C}, +). Selanjutnya, (\mathbb{Q} \backslash \{0\}, \cdot) merupakan subgrup dari (\mathbb{R} \backslash \{0\},\cdot) dan (\mathbb{C} \backslash \{0\}, \cdot) serta (\mathbb{R} \backslash \{0\}, \cdot) merupakan subgrup dari (\mathbb{C} \backslash \{0\},\cdot). Baca lebih lanjut