Homomorfisma Grup


Pada tulisan ini akan berfokus pada pemetaan antar grup. Pemetaan ini akan didefinisikan dengan mempertahankan (mengawetkan) struktur aljabar yaitu grup. Lebih jauh, misal diberikan fungsi f dari grup G ke grup G_1 dengan * dan *_1 merupakan operasi pada G dan G_1.

Sebagai contoh, diberikan fungsi f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+ yang didefinisikan f(a) = e^a untuk setiap a \in \mathbb{R}. Perhatikan, ambil sebarang a,b \in \mathbb{R}

f(a+b) = e^{a+b} = e^a \cdot e^b = f(a) \cdot f(b)

Jadi, f(a+b) = f(a) \cdot f(b).

Contoh tersebut merupakan motivasi dari definisi homomorfisma grup.

Definisi 1.

Diberikan grup (G,*) dan (G_1,*_1) serta f fungsi dari G ke G_1. Maka f disebut homomorfisma jika untuk setiap a,b \in G, berlaku

f(a*b) = f(a) *_1 f(b)

Identitas pada grup G dan G_1 berturut-turut dinotasikan dengan e dan e_1.

Setiap pemetaan dari grup G dan G_1 pasti dapat ditemukan homomorfisma. Karena setiap grup pasti memiliki elemen identitas maka G_1 identitasnya e_1. Definisikan f : G \to G_1 dengan f(a)=e_1 untuk semua a \in G. Perhatikan,

f(a*b) = e_1 = e_1 *_1 e_1 = f(a) *_1 f(b)

Jadi, f merupakan homomorfisma dari G ke G_1. Baca lebih lanjut