Volume Bola dengan Integral Lipat Tiga


Pada kesempatan ini saya mencoba untuk membuktikan rumus volume bola = \frac{4}{3} \pi r^3 dengan menggunakan integral lipat 3, setelah pada tulisan sebelumnya Pembuktian Rumus Volume Bola dengan memanfaatkan integral volume benda putar. Misal diketahui bahwa pertidaksamaan bola adalah x2 + y2 + z2 \leq r2. Kemudian kita mencari batas-batas untuk x, y dan z yaitu

z \leq \quad \sqrt{r^2-y^2-x^2}

-\sqrt{r^2-y^2-x^2} \leq z \leq \sqrt{r^2-y^2-x^2}

kemudian dengan memandang lingakaran (asumsikan z = 0), maka

-\sqrt{r^2-x^2} \leq y \leq \sqrt{r^2-x^2}

dan terakhir dengan memandang y = 0 dan z = 0, maka

-r \leq x \leq r

untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar dibawah ini. Baca lebih lanjut