Invers Kiri dan Kanan Matriks


Apabila berbicara tentang invers matriks, maka kita perlu pahami syarat cukup suatu matriks mempunyai invers, karena tidak semua matriks mempunya invers. Matriks seperti apa yang mempunyai invers? Yaitu matriks yang determinannya tidak sama dengan nol. Secara umum matriks A_{n \times n} merupakan invers dari matriks B_{n \times n} jika dan hanya jika AB = I_n = BA. Perhatikan matriks berikut ini,

Contoh 1.

A = \begin{pmatrix} 1&2\\ 1&3\\ 4&7 \end{pmatrix} dan B = \begin{pmatrix} 3&-2&0\\ -1&1&0 \end{pmatrix}.

AB = \begin{pmatrix} 1&2\\ 1&3\\ 4&7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3&-2&0\\ -1&1&0 \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 5&-1&0 \end{pmatrix}.

BA = \begin{pmatrix} 3&-2&0\\ -1&1&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&2\\ 1&3\\ 4&7 \end{pmatrix}.

= \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix} = I_2.

Jadi, B adalah invers kiri dari matriks A tapi B bukan invers kanan dari A. Baca lebih lanjut

Invers Matriks Menggunakan Adjoint


Pada blog ini saya sudah menulis bagaimana mencari matriks dengan dua cara yang berbeda, yang pertama menggunakan Operasi Baris Elementer, yaitu dengan membentuk matriks augmentasinya kemudian dilakukan OBE dan cara yang kedua dengan memanfaatkan sifat AB = BA = I di mana B sebagai invers matriks A dan I matriks identitas, yang selanjutnya diselesaikan menggunakan eliminasi (baca di sini). Pada tulisan ini, saya mencoba memanfaatkan matriks adjoint. Apa itu matriks adjoint ? Matriks adjoint itu adalah transpose dari Matriks Kofaktor. Misal $latex A4 adalah suatu matriks yang memiliki invers, maka

A^{-1} = \dfrac{1}{det(A)} Adj(A)

Jadi, dalam menggunakan metode ini, untuk mencari invers suatu matriks, yang dibutuhkan adalah Determinan Matriks itu sendiri dan Adjoin Matriks. Perhatikan contoh berikut.

Contoh 1.

Tentukan invers matriks dari A = \begin{bmatrix} 2&-1&3\\ 0&4&5\\ 2&1&4 \end{bmatrix}.

Karena A matriks 3 \times 3, maka untuk mudahnya dalam menentukan determinan, digunakan Metode Sarrus. Baca lebih lanjut

Matriks Invers Tergeneralisasi


Untuk mencari invers tergeneralisasi dari suatu matriks, disini akan menggunakan bantuan sebuah teorema, yaitu :

Teorema 1.

Misalkan A adalah matriks berukuran m \times n dan PAQ = \begin{bmatrix} B&0\\ 0&0 \end{bmatrix}, B adalah matriks nonsingular berukuran r \times r. Jika X adalah matriks berukuran n \times m yang didefinisikan sebagai X = Q\begin{bmatrix} Z&U\\ V&W \end{bmatrix}P dengan U,V,W dan Z adalah matriks sebarang, maka X adalah matriks invers tergeneralisasi jika dan hanya jika Z=B^{-1}.

Contoh 2.

Diketahui matriks A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & -1 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 1\\\end{bmatrix}. Carilah matriks invers tergeneralisasi atau A^g.

  1. Pertama dibuat matriks augmentasinya dengan matriks I_3. Setelah itu, akan dilakukan OBE untuk mencari matriks P. Dalam hal ini, matriks P adalah matriks hasil OBE sampai menghasilkan eselon baris.

    \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 &| & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -1 & 0 &| & 0 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 1 &| & 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix} \begin{array}{c} \\ \\ B_3-B_1\\ \end{array}

    \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 &| & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -1 & 0 &| & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & -1 & 0 &| & -1 & 0 & 1\\ \end{bmatrix} \begin{array}{c} \\ \\ B_3-B_2\\ \end{array}

    Diperoleh matriks P = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ -1 & -1 & 1\\ \end{bmatrix}

    Setelah itu, matriks hasil OBE di atas ditranpose dan dibuat matriks augmentasi dengan matirks I_4. Kemudian dilakukan OBE lagi sampai menghasilakn matriks eselon baris tereduksi, matriks inilah yang merupakan matriks Q.

    \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 &| & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -1 & 0 &| & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 &| & -1 & -1 & 1\\ \end{bmatrix} \begin{array}{c} \\ \mbox{transpose}\\ \\ \end{array}

    \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & | & 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & -1 & 0 &| & 0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 & | & 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix} \begin{array}{c} \\ \\ B_3-B_1\\ B_4-B_1\\ \end{array}

    \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & | & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 &| & -1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & | & -1 & 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix} \begin{array}{c} \\ \\ B_3+B_2\\ \\ \end{array}

    \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & | & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & | & -1 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & | & -1 & 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix}

    Diperoleh matriks Q = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & -1\\ 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}. Jadi, matriks P = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ -1 & -1 & 1\\ \end{bmatrix} dan Q = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & -1\\ 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.

    Baca lebih lanjut

Invers Matriks dengan Cayley-Hamilton


Invers matriks adalah balikan dari suatu matriks. Syarat utama yang harus dipenuhi adalah matriksnya harus berukuran persegi, selain itu determinan dari matriks tersebut tidak boleh sama dengan nol. Jika sudah memenuhi syarat tersebut, maka suatu matriks dapat dicari inversnya. Untuk mencarinya, dapat melalui banyak cara, misalnya dengan memanfaatkan Operasi Baris Elementer seperti tulisan sebelumnya dan cara lainnya. Tapi pada tulisan ini akan memanfaatkan Teorema Cayley-Hamilton. Sebelumnya diberikan definisi polynomial karakteristik, yaitu sebagai berikut.

Definisi

Misal A \in M_{nxn}(R), maka polynomial karakteristik dari A ditulis C_A(X) yaitu didefinisikan C_A(X)=det(XI_n-A)

Kemudian kita punya teorema Cayley-Hamilton, yaitu sebagai berikut.

Teorema

Misal A \in M_{nxn}(R), maka C_A(A)=0

Kemudian, dengan memanfaatkan teorema diatas, kita punya corollary untuk mencari invers, yaitu sebagai berikut. Baca lebih lanjut

Fungsi Balikan (Invers)


Misalkan f merupakan fungsi dari A ke B dan misalkan b \epsilon B, maka invers dari b dinotasikan oleh f-1(b), yang terdiri dari anggota-anggota A yang dipetakan pada b, yaitu anggota-anggota dalam A yang memiliki b sebagai hasil pemetaannya.

Definisi :

Jika f : A \rightarrow B, maka dikatakan dapat dibalik (invertible) jika terdapat fungsi g : B \rightarrow A sedemikian sehingga f o g = IA dan g o f = IB

Baca lebih lanjut

Menghitung Invers Matriks Menggunakan Ms. Excel 2007


Selanjutnya bagaimana menghitung invers Matriks menggunakan Ms. Excel 2007. Berikut langkah-langkahnya :

  1. Siapkan matriks yang ingin dihitung, misalnya kita gunakan hasil perkalian matriks sebelumnya :
    Photobucket

  2. Misalnya kita ingin menghitung invers matriks yang terletak pada range J3:L5 dan kita ingin meletakkan hasil perhitungan inversnya pada range K7, maka pada range K7 ketik formula =MINVERSE(J3:L5). Setelah itu, tekan Enter


    Photobucket

  3. Hasilnya seperti gambar dibawah ini
    Photobucket

  4. Selanjutnya blok kotak 3×3 mulai dari 0.16 (atau K7) sampai M9 sedemikian hingga menjadi seperti gambar dibawah ini.
    ExcelInvers_4

  5. Kemudian pada kolom f_x akan munucl “=MINVERSE(J3:L5)”, letakkan kursor setelah tanda “=” atau sebelum “I” atau akan menjadi “=|MINVERSE(K7:M9)”. Kemudian tekan shift+ctrl dan Enter. Hasilnya seperti ini

ExcelInvers_5

ExcelInvers_6

Selamat mencoba dan semoga berhasil