Gabungan, Irisan dan Perkalian Subgrup


Misal diberikan grup G dan H \subseteq G tak kosong, maka H merupakan subgrup jika dan hanya jika ab^{-1} \in H untuk setiap a,b \in H. Apabila dipunyai dua atau lebih subgrup, apakah gabungan, irisan dan perkalian (product) dari subgrup merupakan subgrup ? Melalui tulisan ini saya akan membahas mengenai itu.

Misal diberikan grup G serta H dan K merupakan subgrup G, apakah H \cup K merupakan subgrup G ? Belum tentu, karena belum ada jaminan pada sifat ketertutupannya. Perhatikan contoh berikut.

Contoh 1.

Diketahui grup G = \mathbb{Z}_6 terhadap operasi +_6 dengan \mathbb{Z}_6 = \{0,1,2,3,4,5\}. Pilih subgrup G yaitu H = \{ 0,2,4 \} dan K = \{ 0,3 \}. Diperoleh H \cup K = \{0,2,3,4 \}. Perhatikan bahwa 3 +_6 4 = 1 \notin H \cup K. Jadi, H \cup K bukan subgrup dari \mathbb{Z}_6. \blacksquare

Selanjutnya, jika dipunyai dua subgrup, maka irisan subgrup membentuk subgrup juga. Baca lebih lanjut