Karakteristik Subgrup


Pada tulisan sebelumnya tentang Subgrup, sudah dijelaskan mengenai definisi dan beberapa sifat serta contoh. Apakah untuk mengecek suatu subgrup atau bukan hanya melalui definisi ?  Jawabannya TIDAK. Berikut diberikan beberapa karakteristik subgrup.

Teorema 1.

Diberikan G grup dan H \subseteq G yang tak kosong. Maka H subgrup dari G jika dan hanya jika untuk setiap a, b \in H berlaku ab^{-1} \in H.

Bukti.

Diketahui H subgrup dari G, ambil sebarang a,b \in H. Karena H subgrup maka terdapat b^{-1} \in H. Berdasarkan sifat ketertutupan subgrup H maka ab^{-1} \in H. Untuk arah sebaliknya, akan ditunjukkan H subgrup. Ekuivalen dengan menunjukkan terdapat identitas e \in H dan untuk sebarang a, b \in H memenuhi ab\in H (sifat tertutup subgrup) serta memiliki invers yaitu a^{-1} sedemikian hingga aa^{-1}=e. Diketahui H \neq \emptyset, H \subseteq G dan ab^{-1} \in H. Berdasarkan yang diketahui, pilih a=b sedemikian sehingga aa^{-1}=e \in H. Ambil sebarang a,b \in H. Berdasarkan yang sudah dibuktikan diperoleh e \in H. Sesuai dengan yang diketahui b^{-1}=eb^{-1} \in H, akibatnya ab=a(b^{-1})^{-1} \in H. Jadi sifat tertutup terpenuhi. Karena e \in H berakibat a^{-1}=ea^{-1} \in H. Jadi setiap a \in H mempunyai invers di H. Sifat asosiatif sudah diturunkan dari sifat grup G. Jadi H merupakan subgrup. \blacksquare

Baca lebih lanjut