Misal diberikan himpunan tak kosong , sebuah relasi
pada
disebut relasi ekuivalensi jika dan hanya jika relasi
memenuhi sifat refleksi, simetri dan transitif.
Lemma 1.
Diberikan grup,
subgrup
dan
. Relasi
dan
merupakan relasi ekuivalensi, yang didefiniskan sebagai berikut.
jika dan hanya jika
.
jika dan hanya jika
.
Bukti.
Untuk membuktikan merupakan relasi ekuivalensi, harus membuktikan sifat refleksif, simetris dan transitif. Ambil sebarang
, berakibat terdapat
. Karena
subgrup
, perhatikan bahwa
. Jadi,
. Baca lebih lanjut