Koset


Misal diberikan himpunan tak kosong S, sebuah relasi \sim pada S disebut relasi ekuivalensi jika dan hanya jika relasi \sim memenuhi sifat refleksi, simetri dan transitif.

Lemma 1.

Diberikan G grup, H subgrup G dan a,b \in G. Relasi a \equiv_L b \mod H dan a \equiv_R b \mod H merupakan relasi ekuivalensi, yang didefiniskan sebagai berikut.

a \equiv_L b jika dan hanya jika a^{-1}b \in H.

a \equiv_R b jika dan hanya jika ab^{-1} \in H.

Bukti.

Untuk membuktikan \equiv_L merupakan relasi ekuivalensi, harus membuktikan sifat refleksif, simetris dan transitif. Ambil sebarang a,b,c \in G, berakibat terdapat a^{-1} \in G. Karena H subgrup G, perhatikan bahwa a^{-1}a = e \in H. Jadi, a \equiv_L a \mod H. Baca lebih lanjut