Teorema Lagrange


Sebelum memasuki Teorema Lagrange, berikut diberikan beberapa sifat dari koset kiri dan kanan.

Teorema 1.

Diberikan G grup, H subgrup G dan a,b \in G. Maka,

aH=H jika dan hanya jika a \in H

aH=bH jika dan hanya jika b^{-1}a \in H

Ha=Hb jik daan hanya jika ab^{-1} \in H

Bukti.

1.   Ambil sebarang a \in G. Misal aH=H. Karena a=ae \in aH dan aH=H, berakibat a \in H. Sebaliknya, misalkan a\in H. Ambil sebarang x \in aH, artinya x=ah untuk suatu h \in H. Karena a,h \in H, diperoleh x \in H. Jadi, aH \subseteq H. Ambil sebarang h \in H. Karena a \in H, berakibat a^{-1} \in H. Sehingga diperoleh a^{-1}h \in H. Dapat ditulis h_1 = a^{-1}h untuk suatu h_1 \in H. Perhatikan,

h = eh = (aa^{-1})h = a(a^{-1}h) = ah_1 \in aH

Jadi, H \subseteq aH. Oleh karena itu, H=aH. Baca lebih lanjut

Koset


Misal diberikan himpunan tak kosong S, sebuah relasi \sim pada S disebut relasi ekuivalensi jika dan hanya jika relasi \sim memenuhi sifat refleksi, simetri dan transitif.

Lemma 1.

Diberikan G grup, H subgrup G dan a,b \in G. Relasi a \equiv_L b \mod H dan a \equiv_R b \mod H merupakan relasi ekuivalensi, yang didefiniskan sebagai berikut.

a \equiv_L b jika dan hanya jika a^{-1}b \in H.

a \equiv_R b jika dan hanya jika ab^{-1} \in H.

Bukti.

Untuk membuktikan \equiv_L merupakan relasi ekuivalensi, harus membuktikan sifat refleksif, simetris dan transitif. Ambil sebarang a,b,c \in G, berakibat terdapat a^{-1} \in G. Karena H subgrup G, perhatikan bahwa a^{-1}a = e \in H. Jadi, a \equiv_L a \mod H. Baca lebih lanjut