Teorema Butterfly


Pada tulisan kali ini kembali mengulas tentang geometry, seperti judul tulisan ini Teorema Butterfly, mungkin kalian sudah terbayang gambar apa yang muncul pada tulisan ini ? Yap, itu gambar kupu-kupu. Ilustrasinya sebagai berikut. Misal dipunyai sebuah lingkaran yang berjari-jari r, selanjutnya dibuat chord PQ (garis melalui dua titik pada lingkaran). Kemudian diberikan titik M yang merupakan titik tengah pada chord PQ tersebut. Setelah itu, gambar chord AB dan CD yang berpotongan di M. Dan chord AD dan BC berturut-turut memotong chord PQ pada titik X dan Y. Teorema Butterfly mengakatan bahwa M merupakan titik tengah dari XY.

butterfly_01

Teorema 1.

Titik tengah M yang melalui chord PQ pada suatu lingkaran. Untuk sebarang chord AB dan CD pada lingkaran tersebut, dimana chord AD dan BC memotong PQ di titik X dan Y. Maka M adalah titik tengah XY. Baca lebih lanjut

Teorema Thale


Misal diberikan sebuah lingkaran, kemudian dibuat segitiga dalam lingkaran tersebut. Di mana salah satu sisi segitiganya merupakan diameter lingkaran tersebut, maka besar sudut yang berhadapan dengan diameter lingkaran adalah 90 derajat.teorema_thale_01

Sifat ini merupakan bunyi Teorema Thale, berikut isi teorema lengkapnya

“Jika A,B dan C merupakan titik-titik yang berbeda pada lingkaran sedemikian hingga garis AB merupakan diameter lingkaran, maka sudut \angle ACB merupakan sudut siku-siku. Dengan kata lain, \triangle ABC merupakan segitiga siku-siku” Baca lebih lanjut

Lingkaran Luar Segitiga


Setelah pada tulisan sebelumnya tentang Lingkaran Dalam Segitiga, selanjutnya tulisan kali ini membahas tentang Lingkaran Luar Segitiga, yaitu bagaimana menghitung panjang jari-jari lingkaran yang ada luar segitiga. Sama seperti pada tulisan sebelumnya, di sini akan dimanfaatkan garis bagi segitiga, yaitu garis yang membagi sudut segitiga menjadi dua sama besar sertasudut keliling. Misalkan dipunyai segitiga ABC sebarang dengan panjang sisinya adalah a, b dan c, akan dibentuk lingkaran yang menyinggung ketiga titik sudut segitiga tersebut, yaitu titik A, B dan C. Pertama, dibuat terlebih dahulu garis bagi pada sudut C, namakan garis CD. Selanjutnya dari buat garis AD sedemikian hingga AD tegak lurus dengan AC. Berakibat terbentuk segtiga CAD yang siku-siku di A. Dari sini, buat lingkaran dengan pusat O dimana O berada ditengah-tengah garis CD. (perhatikan gambar)LLS_01

Perhatikan bahwa \angle ADC = \angle EBC (karena sudut keliling) dan \angle CAD = \angle CEB = 90^0. Oleh karena itu, \triangle ADC \sim \triangle EBC. Berakibat Baca lebih lanjut

Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran


Misal diberikan dua lingkaran yang berpusat di M dan N yang berturut-turut memiliki jari-jari R dan r serta jarak antar titik pusat kedua lingkarannya adalah p (perhatikan gambar di bawah ini).GSPD_01

Bagaimana cara menentukan panjang garis singgung kedua lingkaran tersebut?

Pertama dibuat garis yang menyinggung kedua lingkaran tersebut, misal sebut garis AB dengan titik A dan B menyinggung masing-masing lingkaran. Seperti yang diketahui bahwa garis yang menyinggung kedua lingkaran adalah tegak lurus dengan jari-jari lingkaran yang bersangkutan. Dalam hal ini, garis singgung yang seperti ini dikenal dengan nama Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran. Baca lebih lanjut

Lingkaran Dalam Segitiga


Tulisan kali ini membahas tentang Lingkaran Dalam Segitiga, yaitu bagaimana menghitung panjang jari-jari lingkaran yang ada dalam segitiga. Dalam hal ini, akan dimanfaatkan garis bagi segitiga, yaitu garis yang membagi sudut segitiga menjadi dua sama besar. Misalkan dipunyai segitiga ABC sebarang dengan panjang sisinya adalah a, b dan c, akan dibentuk lingkaran yang menyinggung ketiga sisi segitiga tersebut. Pertama, dibuat terlebih dahulu garis bagi setiap sudut segitiga. Selanjutnya titik perpotongan dari garis bagi ini yang akan jadi titik pusat lingkaran. Kemudian dari titik pusat, ditarik garis ke ketiga sisi segitiga sedemikian hingga garis-garis tersebut tegak lurus dengan sisi segitiga, yaitu OE \bot BC, OD \bot AB dan OF \bot AC. Selanjutnya baru dibuat lingkaran yang melalui titik D,E dan F serta melalui titik pusat O. (perhatikan gambar)LDS_01

Seperti yang terlihat pada gambar bahwa garis OD, OE dan OE merupakan jari-jari lingkaran sekaligus merupakan tinggi dari masing-masing segitiga AOB, BOC dan COA. Sehingga berakibat OD = OE = OE = r. Oleh karena itu, untuk mencari jari-jari lingkaran ini, akan dimanfaatkan hubungan dari luas –segitiga-segitiga tersebut. Perhatikan bahwa Baca lebih lanjut

Garis Singgung Persekutuan Luar Dua Lingkaran


Misal diberikan dua lingkaran yang berpusat di M dan N yang berturut-turut memiliki jari-jari R dan r serta jarak antar titik pusat kedua lingkarannya adalah p (perhatikan gambar di bawah ini).GSPL_01

Bagaimana cara menentukan panjang garis singgung kedua lingkaran tersebut?

Pertama dibuat garis yang menyinggung kedua lingkaran tersebut, misal sebut garis AB dengan titik A dan B menyinggung masing-masing lingkaran. Seperti yang diketahui bahwa garis yang menyinggung kedua lingkaran adalah tegak lurus dengan jari-jari lingkaran yang bersangkutan. Dalam hal ini, garis singgung yang seperti ini dikenal dengan nama Garis Singgung Persekutuan Luar Dua Lingkaran. Baca lebih lanjut

Persamaan Garis Singgung Lingkaran (2)


Tulisan ini merupakan kelanjutan dari Persamaan Garis Singgung Lingkaran (1) yaitu mencari persamaan garis  singgung lingkaran yang melalui suatu titik singgung. Tulisan kali ini merupakan bagaimana mencari persamaan garis singgung jika diketahui gradien garis singgung. Dalam hal ini memiliki dua kondisi seperti sebelumnya yaitu untuk lingkaran yang berpusat titik O(0,0) dan jari-jari r dan untuk lingkaran dengan titik pusat A(a,b) dengan jari-jari r. Baik, pada tulisan ini saya akan paparkan satu per satu.

1.   Lingkaran dengan Pusat di O(0,0) dan jari-jari r

Persamaan garis singgung lingkaran L \equiv x^2+y^2=r^2 apabila gradien garis singgung m diketahui. Sehingga diperoleh persamaan garis yaitu y = mx + n. Selanjutnya substitusi persamaan garis singgung ke persamaan lingkaran, diperoleh

x^2+(mx+n)^2=r^2

x^2 + m^2x^2 + 2mnx + n^2 = r^2

(1+m^2)x^2 + 2mnx + (n^2-r^2) = 0 Baca lebih lanjut

Persamaan Garis Singgung Lingkaran (1)


Pada tulisan sebelumnya sudah dijelaskan tentang Persamaan Lingkaran. Pada tulisan ini akan dipaparkan tentang Persamaan Garis Singgung Lingkaran yaitu persamaan garis yang melalui suatu titik. Persamaan garis singgung yang seperti ini memiliki dua kondisi yaitu untuk lingkaran yang berpusat titik O(0,0) dan jari-jari r dan untuk lingkaran dengan titik pusat A(a,b) dengan jari-jari r. Baik, pada tulisan ini saya akan paparkan satu per satu.

1.   Lingkaran dengan Pusat di O(0,0) dan jari-jari r

Perhatikan gambar di bawah ini.

PGSL_01

Pada gambar di atas, garis g adalah garis singgung lingkaran L \equiv x^2+y^2=r^2 dan P(x_1,y_1) adalah titik singgungnya. Hal ini berarti titik P(x_1,y_1) terletak pada lingkaran L \equiv x^2+y^2=r^2 sehingga berakibat x_1^2 + y_1^2 = r^2. Baca lebih lanjut