Invers Kiri dan Kanan Matriks


Apabila berbicara tentang invers matriks, maka kita perlu pahami syarat cukup suatu matriks mempunyai invers, karena tidak semua matriks mempunya invers. Matriks seperti apa yang mempunyai invers? Yaitu matriks yang determinannya tidak sama dengan nol. Secara umum matriks A_{n \times n} merupakan invers dari matriks B_{n \times n} jika dan hanya jika AB = I_n = BA. Perhatikan matriks berikut ini,

Contoh 1.

A = \begin{pmatrix} 1&2\\ 1&3\\ 4&7 \end{pmatrix} dan B = \begin{pmatrix} 3&-2&0\\ -1&1&0 \end{pmatrix}.

AB = \begin{pmatrix} 1&2\\ 1&3\\ 4&7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3&-2&0\\ -1&1&0 \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 5&-1&0 \end{pmatrix}.

BA = \begin{pmatrix} 3&-2&0\\ -1&1&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&2\\ 1&3\\ 4&7 \end{pmatrix}.

= \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix} = I_2.

Jadi, B adalah invers kiri dari matriks A tapi B bukan invers kanan dari A. Baca lebih lanjut

Determinan Matriks dengan Metode Inversi


Fungsi adalah pemetaan setiap anggota suatu himpunan (domain) ke anggota himpunan yang lain (kodomain). Dengan kata lain, tidak ada anggota domain yang tidak dipetakan ke anggota kodomain. Tetapi boleh jadi, ada anggota kodomain yang tidak memiliki pasangan dengan anggota domain. Seperti yang telah diketahui bahwa, ada beberapa jenis fungsi, yaitu Fungsi Injektif (Satu-Satu), Fungsi Serjektif (Pada) dan Fungsi Bijektif (Satu-Satu dan Pada).

Selanjutnya, pemetaan dari himpunan tak kosong A kedirinya sendiri dinamakan Permutasi. Lebih jauh, jika diberikan himpunan A = \{ 1, 2, \ldots , n \}, maka permutasi dapat ditulis sebagai

\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \ldots & n\\ i_1 & i_2 & \ldots & i_n \end{pmatrix}

Atau dapat ditulis juga sebagai \sigma = \{ i_1, i_2, \ldots , i_n \} dengan i_1, i_2, \ldots , i_n adalah n bilangan yang berbeda.

Misal diberikan n = 3, maka

S_3 = \{(1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2), (3,2,1) \}

memuat enam permutasi. Catat bahwa (3,1,3) tidak termuat di permutasi S_3 karena entri-entrinya tidak berbeda semua. Sama halnya dengan (1,2,2) bukan merupakan anggota S_3. Secara umum, banyak anggota dari S_n adalah n! = n(n-1) \cdots 2 \cdot 1. Sebelum memasuki bagaimana menghitung determinan suatu matriks, terlebih dahulu akan diberikan definisi dari Inversi. Berikut definisinya, Baca lebih lanjut

Invers Matriks (2)


Sebenarnya saya sudah menulis tentang Invers Matriks ini, pada tulisan sebelumnya saya memanfaatkan Operasi Baris Elementer. Pada tulisan ini saya mencoba menulis kembali bagaimana mencari invers dengan cara berbeda dari tulisan sebelumnya. Tapi pada dasarnya kedua cara ini hampir sama, karena sama-sama berlandaskan eliminasi. Untuk kalian yang belum pernah mendapatkan Operasi Baris Elementer, tentu cara ini lebih mudah dipahami. Baiklah, seperti yang kita tahu bahwa suatu matriks dapat dibalik jika dan hanya jika matriks tersebut adalah matriks persegi (matriks yang berukuran n x n) dan matriks tersebut non-singular (determinan \neq 0). Oleh karena itu, tidak semua matriks memiliki invers. Matriks yang seperti apa yang memiliki invers? Yaitu matriks kuadrat A dikatakan memiliki invers matriks B jika AB = B A = I. Selanjutnya matriks A dikatakan yang dapat dibalik (invertible) dan B dinamakan invers dari A. Perhatikan contoh berikut

Contoh 1.

Hitung invers matriks A_{2\times 2} berikut \begin{bmatrix} 3&5\\1&2\\ \end{bmatrix}. Baca lebih lanjut

Determinan Matriks dengan Metode CHIO


Determinan merupakan suatu fungsi dari himpunan semua matriks persegi ke himpunan semua bilangan real. Determinan matriks A biasanya dinyatakan oleh |A| atau det(A). Terdapat beberapa metode yang digunakan untuk menentukan determinan matriks yaitu metode Sarrus, Ekspansi Kofaktor, dan Kondensasi (Penyusutan) CHIO. Kondensasi CHIO merupakan salah satu metode yang dapat digunakan dalam menentukan determinan matriks yang memiliki ordo n \times n dengan n \geq 3.
Kondensasi CHIO menyusutkan determinan matriks ordo n \times n menjadi ordo (n-1) \times (n-1) dan dikalikan dengan elemen a_{11}. Proses kondensasi ini berakhir pada determinan matriks ordo 2 \times 2.
Tanpa mengurangi perumuman, dalam tulisan ini menggunakan matriks persegi dengan syarat elemen a_{11} \neq 0. Apabila nilai elemen a_{11} = 0 maka dilakukan proses operasi baris/kolom yaitu menukarkan baris/kolom pada determinan matriks untuk memperoleh a_{11} \neq 0.

Perhatikan untuk matrik dengan ordo 3 \times 3. Persamaan yang digunakan untuk metode CHIO ini sebagai berikut.

det(A) = \dfrac{1}{(a_{11})^{3-2}} \begin{vmatrix} \begin{vmatrix} a_{11} &  a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} &  a_{13}\\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix}\\ &\\ \begin{vmatrix} a_{11}  & a_{12}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11}  & a_{13}\\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} \end{vmatrix}

Selanjutnya untuk matrik dengan ordo 4 \times 4. Persamaan yang digunakan untuk metode CHIO ini sebagai berikut. Baca lebih lanjut

Metode Sarrus


Untuk menghitung determinan suatu matriks dapat dilakukan dengan berbagai metode, salah satunya yaitu menggunakan Metode Kofaktor. Selain metode itu, pada kesempatan ini akan dikenalkan Metode Sarrus. Apa itu metode sarrus ? Metode ini sebenarnya sudah dikenalkan sejak duduk di bangku SMA, tapi mungkin dikenalkan nama metodenya (beberapa sekolah ada yang sudah mengenalkan). Misal diberikan matriks A yang berukuran 3 \times 3 yaitu \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} &  a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}, maka dengan metode sarrus yaitu matriks_sarrusDiperolehdet(A) = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32}- a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}- a_{12}a_{21}a_{33}. Kenapa bisa diperoleh rumus tersebut ? Baca lebih lanjut

Matriks Invers Tergeneralisasi


Untuk mencari invers tergeneralisasi dari suatu matriks, disini akan menggunakan bantuan sebuah teorema, yaitu :

Teorema 1.

Misalkan A adalah matriks berukuran m \times n dan PAQ = \begin{bmatrix} B&0\\ 0&0 \end{bmatrix}, B adalah matriks nonsingular berukuran r \times r. Jika X adalah matriks berukuran n \times m yang didefinisikan sebagai X = Q\begin{bmatrix} Z&U\\ V&W \end{bmatrix}P dengan U,V,W dan Z adalah matriks sebarang, maka X adalah matriks invers tergeneralisasi jika dan hanya jika Z=B^{-1}.

Contoh 2.

Diketahui matriks A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & -1 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 1\\\end{bmatrix}. Carilah matriks invers tergeneralisasi atau A^g.

  1. Pertama dibuat matriks augmentasinya dengan matriks I_3. Setelah itu, akan dilakukan OBE untuk mencari matriks P. Dalam hal ini, matriks P adalah matriks hasil OBE sampai menghasilkan eselon baris.

    \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 &| & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -1 & 0 &| & 0 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 1 &| & 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix} \begin{array}{c} \\ \\ B_3-B_1\\ \end{array}

    \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 &| & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -1 & 0 &| & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & -1 & 0 &| & -1 & 0 & 1\\ \end{bmatrix} \begin{array}{c} \\ \\ B_3-B_2\\ \end{array}

    Diperoleh matriks P = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ -1 & -1 & 1\\ \end{bmatrix}

    Setelah itu, matriks hasil OBE di atas ditranpose dan dibuat matriks augmentasi dengan matirks I_4. Kemudian dilakukan OBE lagi sampai menghasilakn matriks eselon baris tereduksi, matriks inilah yang merupakan matriks Q.

    \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 &| & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -1 & 0 &| & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 &| & -1 & -1 & 1\\ \end{bmatrix} \begin{array}{c} \\ \mbox{transpose}\\ \\ \end{array}

    \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & | & 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & -1 & 0 &| & 0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 & | & 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix} \begin{array}{c} \\ \\ B_3-B_1\\ B_4-B_1\\ \end{array}

    \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & | & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 &| & -1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & | & -1 & 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix} \begin{array}{c} \\ \\ B_3+B_2\\ \\ \end{array}

    \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & | & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & | & -1 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & | & -1 & 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix}

    Diperoleh matriks Q = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & -1\\ 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}. Jadi, matriks P = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ -1 & -1 & 1\\ \end{bmatrix} dan Q = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & -1\\ 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.

    Baca lebih lanjut

Invers Matriks


Suatu matriks dapat dibalik jika dan hanya jika matriks tersebut adalah matriks persegi (matriks yang berukuran n x n) dan matriks tersebut non-singular (determinan \neq 0). Tidak semua matriks memiliki invers. Invers matriks dapat didefinisikan sebagai berikut.

Definisi :

Jika A adalah suatu matriks kuadrat, dan jika kita dapat mencari matriks B sehingga AB = BA = I, maka A dikatakan dapat dibalik (invertible) dan B dinamakan invers dari A Baca lebih lanjut

Menghitung Determinan Menggunakan Eselon Baris


Definisi 1.

Misalkan A adalah matriks kuadrat. Fungsi determinan dinyatakan oleh det, dan kita definisikan det(A) sebagai jumlah semua hasil kali elementer beranda dari A. Jumlah det(A) kita namakan determinan A.

Jika kita punya matriks A2×2, = \left [ \begin{array}{rr} a_{11} &a_{12}\\ a_{21} &a_{22} \end{array} \right ] maka det(A) = a11a22 – a12a21.

Kemudian jika kita punya matriks B3×3 = \left [ \begin{array}{rrr} a_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33} \end{array} \right ] maka

det(B) = a11a22a33 – a12a23a31 – a13a21a32 – a13a22a31 – a12a21a33 – a11a23a32. Baca lebih lanjut