Daerah Integral


Secara umum jika dua bilangan pada bilangan riil (lapangan) dan hasil kalinya sama dengan nol, maka salah satu bilangan tersebut pasti ada yang nol. Tetapi pada ring R tidak berlaku demikian. Misal diberikan ring \mathbb{Z}_6 dengan operasi penjumlahan dan perkalian biasa. Pilih [2], [3] \in \mathbb{Z}, maka diperoleh [2] \cdot [3] = [0], padahal [2],[3] \neq [0]. Tetapi di sisi lain berlkau juga [0] \cdot [1] = [0], [0] \cdot [2] = [0], dst. Oleh karena itu, muncul definisi dari Elemen Pembagi Nol. Berikut diberikan definisinya.

Definisi 1.

Misalkan R suatu ring dan a \in R, a \neq 0 maka

1.  a disebut elemen pembagi nol kiri jika \exists b \in R, b \neq 0 sedemikian hingga ab = 0

2.  a disebut elemen pembagi nol kanan jika \exists b \in R, b \neq 0 sedemikian hingga ba = 0

Dapat disimpulkan, pembagi nol adalah jika pada suatu ring R, a \in R, a \neq 0 dan \exists b \in R, b \neq 0 sedemikian hingga ab = ba = 0. Selanjutnya, a bukan elemen pembagi nol jika \forall b \in R, b \neq 0, ab \neq 0. Apabila R mempunyai elemen satuan e, maka e bukan pembagi nol, karena \forall b \in R, be = eb = b. Baca lebih lanjut

Sifat-Sifat Ring


Pada tulisan ini akan diberikan beberapa sifat ring.

Teorema 1.

Diberikan ring R dan a,b,c \in R. Maka

a.  a0 = 0a = 0

b.  a(-b) = (-a)b = -ab

c.  (-a)(-b) = ab

d.  a(b-c)=ab-ac dan (b-c)a = ba-ca

Bukti.

Ambil sebarang a,b,c \in R.

a.  Dari sifat distributif ring, diperoleh a0+a0 = a(0+0). Karena sifat 0 pada penjumlahan, berbakibat a0+a0 = a0. Karena a0 \in R, berakibat -a0 \in R. Diperoleh

(a0+a0)+(-a0)=a0+(-a0)

a0+(a0+(-a0))=0

a0+0=0

a0=0

Dengan, cara yang sama diperoleh 0a=0. Baca lebih lanjut

Habis Dibagi 13


Beberapa waktu yang lalu ada beberapa pengunjung blog yang menanyakan tentang bilangan habis dibagi 13, kira-kira pertanyaannya sebagai berikut “buktikan bahwa 71234 + 71234 + 71234 + 71234 habis dibagi 13″. Sebelumnya saya minta maaf karena tidak bisa langsung merespon karena beberapa hal, melalui tulisan ini saya mencoba untuk menjelaskan lebih rinci.

Tapi sebelumnya, saya akan menulis definisi mod (modulus) yang akan kita gunakan untuk menyelesaiakan soal tersebut.

Definisi

misal n adalah bilangan bulat positif, a dan b adalah bilangan bulat lainnya. Dikatakan bahwa a adalah kongruen b mod n atau a adalah sisa dari a mod n, ditulis a \equiv b mod (n).

atau dengan kata lain a \equiv b mod (n) jika n habis membagi (a – b).

sebelum menggunakan definisi diatas, kita terlebih dahulu merincikan hasil dari 7i untuk beberapa i \in \mathbb{N} (sesuai dengan kebutuhan), perhatikan hasil dibawah ini :

71 = 7

72 = 49

73 = 343

74 = 2401

75 = 16807

jika diperhatikan, maka angka satuannya akan berulang pada iterasi (pengulangan) pangkat yang ke-5, dari hasil ini kita akan menggunakan definisi diatas dengan menggunakan “mod 4”. Sehingga diperoleh

1234 mod 4 = 2 \Rightarrow 71234 = 72 memiliki angka satuan 9

2341 mod 4 = 1 \Rightarrow 72341 = 71 memiliki angka satuan 7

3412 mod 4 = 0 \Rightarrow 73412 = 74 memiliki angka satuan 1

4123 mod 4 = 3 \Rightarrow 74123 = 73 memiliki angka satuan 3

71234 + 71234 + 71234 + 71234 = 9 + 7 + 1 + 3 = 20

jadi angka satuan dari penjumlahannya adalah 0