Homomorfisma Natural


Perhatikan contoh berikut ini. Diberikan S_3 dan subgrup normal H = \left\{ \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 1&2&3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 2&3&1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 3&1&2 \end{pmatrix} \right\}.

Didefinisikan f : S_3 \to S_3/H oleh f(\alpha) = \alpha H untuk setiap \alpha \in S_3. Perhatikan bahwa

f(\alpha \circ \alpha') = (\alpha \circ \alpha')H = (\alpha H) \circ (\alpha' H) = f(\alpha) \circ f(\alpha')

Untuk sebarang \alpha, \alpha' \in S_3. Oleh karena itu, f homomorfisma. Lebih jauh

Ker(f) = \{ \alpha \in S_3 | \alpha H = H \} = \{ \alpha \in S_3 | \alpha \in H \} = H

Dari contoh tersebut, dapat dilihat bahwa jika dipunyai grup dan subgrup normal, selalu dapat dibentuk grup faktor. Selanjutnya pasti dapat dibentuk homomorfisma dari grup ke grup faktor, di mana homomorfisma yang demikian itu dinamakan Homomorfisma Natural. Dan lebih jauh, kernel dari homomorfisma sama dengan subgrup normalnya. Sehingga diperoleh teorema sebagai berikut.

Teorema 1.

Diberikan H subgrup normal dari G. Didefinisikan fungsi g dari G ke grup faktor G/H oleh g(a)=aH untuk setiap a \in G. Maka g merupakan homomorfisma dan Ker(g)=H. (Homomorfisma g disebut Homomorfisma Natural dari G ke G/H)

Bukti.

Ambil sebarang a,b \in G. Akan dibuktikan g homomorfisma. Perhatikan

g(ab) = (ab)H = (aH)(bH) = g(a)g(b).

Oleh karena itu, g merupakan homomorfisma. Selanjutnya akan dibuktikan Ker(g)=H. Sekarang perhatikan

a \in Ker(g) \Leftrightarrow g(a)=eH

\Leftrightarrow aH=eH

\Leftrightarrow e^{-1}a \in H

\Leftrightarrow a \in H

Oleh karena itu, Ker(g) = H. \blacksquare