Sifat-Sifat Subgrup Normal


Setelah penjelasan Subgrup Normal pada tulisan sebelumnya, selanjutnya diberikan beberapa sifat pada subgrup normal.

Teorema 1.

Setiap subgrup dari grup komutatif merupakan subgrup normal.

Bukti.

Diketahui G grup komutatif dan H subgrup G. Ambil sebarang g \in G. Akan dibuktikan gH = Hg. Karena G grup komutatif, maka untuk sebarang h \in H \subseteq G berakibat gh=hg. Perhatikan

gH = \{ gh~|~h \in H \} = \{ hg~|~ h \in H \} = Hg.

Jadi, H subgrup normal dari G. \blacksquare

Dengan teorema di atas, apabila diberikan grup komutatif, maka pasti subgrupnya adalah normal. Selanjutnya diberikan karakteristik subgrup normal. Baca lebih lanjut

Teorema Lagrange


Sebelum memasuki Teorema Lagrange, berikut diberikan beberapa sifat dari koset kiri dan kanan.

Teorema 1.

Diberikan G grup, H subgrup G dan a,b \in G. Maka,

aH=H jika dan hanya jika a \in H

aH=bH jika dan hanya jika b^{-1}a \in H

Ha=Hb jik daan hanya jika ab^{-1} \in H

Bukti.

1.   Ambil sebarang a \in G. Misal aH=H. Karena a=ae \in aH dan aH=H, berakibat a \in H. Sebaliknya, misalkan a\in H. Ambil sebarang x \in aH, artinya x=ah untuk suatu h \in H. Karena a,h \in H, diperoleh x \in H. Jadi, aH \subseteq H. Ambil sebarang h \in H. Karena a \in H, berakibat a^{-1} \in H. Sehingga diperoleh a^{-1}h \in H. Dapat ditulis h_1 = a^{-1}h untuk suatu h_1 \in H. Perhatikan,

h = eh = (aa^{-1})h = a(a^{-1}h) = ah_1 \in aH

Jadi, H \subseteq aH. Oleh karena itu, H=aH. Baca lebih lanjut