Invers Kiri dan Kanan Matriks


Apabila berbicara tentang invers matriks, maka kita perlu pahami syarat cukup suatu matriks mempunyai invers, karena tidak semua matriks mempunya invers. Matriks seperti apa yang mempunyai invers? Yaitu matriks yang determinannya tidak sama dengan nol. Secara umum matriks A_{n \times n} merupakan invers dari matriks B_{n \times n} jika dan hanya jika AB = I_n = BA. Perhatikan matriks berikut ini,

Contoh 1.

A = \begin{pmatrix} 1&2\\ 1&3\\ 4&7 \end{pmatrix} dan B = \begin{pmatrix} 3&-2&0\\ -1&1&0 \end{pmatrix}.

AB = \begin{pmatrix} 1&2\\ 1&3\\ 4&7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3&-2&0\\ -1&1&0 \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 5&-1&0 \end{pmatrix}.

BA = \begin{pmatrix} 3&-2&0\\ -1&1&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&2\\ 1&3\\ 4&7 \end{pmatrix}.

= \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix} = I_2.

Jadi, B adalah invers kiri dari matriks A tapi B bukan invers kanan dari A. Baca lebih lanjut

Iklan

Invers Matriks Menggunakan Adjoint


Pada blog ini saya sudah menulis bagaimana mencari matriks dengan dua cara yang berbeda, yang pertama menggunakan Operasi Baris Elementer, yaitu dengan membentuk matriks augmentasinya kemudian dilakukan OBE dan cara yang kedua dengan memanfaatkan sifat AB = BA = I di mana B sebagai invers matriks A dan I matriks identitas, yang selanjutnya diselesaikan menggunakan eliminasi (baca di sini). Pada tulisan ini, saya mencoba memanfaatkan matriks adjoint. Apa itu matriks adjoint ? Matriks adjoint itu adalah transpose dari Matriks Kofaktor. Misal $latex A4 adalah suatu matriks yang memiliki invers, maka

A^{-1} = \dfrac{1}{det(A)} Adj(A)

Jadi, dalam menggunakan metode ini, untuk mencari invers suatu matriks, yang dibutuhkan adalah Determinan Matriks itu sendiri dan Adjoin Matriks. Perhatikan contoh berikut.

Contoh 1.

Tentukan invers matriks dari A = \begin{bmatrix} 2&-1&3\\ 0&4&5\\ 2&1&4 \end{bmatrix}.

Karena A matriks 3 \times 3, maka untuk mudahnya dalam menentukan determinan, digunakan Metode Sarrus. Baca lebih lanjut

Matriks Invers Tergeneralisasi


Untuk mencari invers tergeneralisasi dari suatu matriks, disini akan menggunakan bantuan sebuah teorema, yaitu :

Teorema 1.

Misalkan A adalah matriks berukuran m \times n dan PAQ = \begin{bmatrix} B&0\\ 0&0 \end{bmatrix}, B adalah matriks nonsingular berukuran r \times r. Jika X adalah matriks berukuran n \times m yang didefinisikan sebagai X = Q\begin{bmatrix} Z&U\\ V&W \end{bmatrix}P dengan U,V,W dan Z adalah matriks sebarang, maka X adalah matriks invers tergeneralisasi jika dan hanya jika Z=B^{-1}.

Contoh 2.

Diketahui matriks A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & -1 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 1\\\end{bmatrix}. Carilah matriks invers tergeneralisasi atau A^g.

  1. Pertama dibuat matriks augmentasinya dengan matriks I_3. Setelah itu, akan dilakukan OBE untuk mencari matriks P. Dalam hal ini, matriks P adalah matriks hasil OBE sampai menghasilkan eselon baris.

    \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 &| & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -1 & 0 &| & 0 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 1 &| & 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix} \begin{array}{c} \\ \\ B_3-B_1\\ \end{array}

    \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 &| & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -1 & 0 &| & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & -1 & 0 &| & -1 & 0 & 1\\ \end{bmatrix} \begin{array}{c} \\ \\ B_3-B_2\\ \end{array}

    Diperoleh matriks P = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ -1 & -1 & 1\\ \end{bmatrix}

    Setelah itu, matriks hasil OBE di atas ditranpose dan dibuat matriks augmentasi dengan matirks I_4. Kemudian dilakukan OBE lagi sampai menghasilakn matriks eselon baris tereduksi, matriks inilah yang merupakan matriks Q.

    \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 &| & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -1 & 0 &| & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 &| & -1 & -1 & 1\\ \end{bmatrix} \begin{array}{c} \\ \mbox{transpose}\\ \\ \end{array}

    \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & | & 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & -1 & 0 &| & 0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 & | & 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix} \begin{array}{c} \\ \\ B_3-B_1\\ B_4-B_1\\ \end{array}

    \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & | & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 &| & -1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & | & -1 & 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix} \begin{array}{c} \\ \\ B_3+B_2\\ \\ \end{array}

    \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & | & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & | & -1 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & | & -1 & 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix}

    Diperoleh matriks Q = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & -1\\ 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}. Jadi, matriks P = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ -1 & -1 & 1\\ \end{bmatrix} dan Q = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & -1\\ 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.

    Baca lebih lanjut

Problem (15) : Menyelesaikan Tiga Persamaan dengan OBE


Terpikir dalam kepala, apakah penjelasan yang saya paparkan dalam blog ini masih terlalu ribet ? Inin terpikir setelah salah satu pengunjung bertanya lewat email tentang mencari solusi persamaan. Melalui tulisan ini mencoba untuk menjabarkan langkah demi langkah untuk penyelesaian tiga persamaan sebagai berikut :

2x + 4y + 5z = 36

x + 3y +   z = 13

3x + 5y + 2z = 29 Baca lebih lanjut

Operasi Baris Elementer


Untuk menentukan solusi dari SPL dilakukan dengan cara membentuk matrik yang diperluas/diperbesar dari SPL dan melakukan Operasi Baris Elementer (OBE) pada matriks yang diperbesar tersebut. OBE ini didapatkan dalam suatu tahapan dengan menerapkan ketiga tipe operasi berikut untuk menghilangkan bilangan-bilangan tak diketahui secara sistematik. Baca lebih lanjut