Isomorfisma Grup


Definisi 1.

Diberikan grup G dan G_1. Homomorfisma f : G \to G_1 disebut epimorfisma jika f fungsi pada (surjektif) pada G_1 dan f disebut monomorfisma jika f fungsi satu-satu (injektif).

Contoh 2.

Diberikan grup R^* yaitu grup bilangan riil tak nol terhadap operasi perkalian. Didefinisikan f : R^* \to R^* dengan f(a)=|a|. Apakah f epimorfisma atau monomorfisma ?

Ambil sebarang a,b \in R^*. Diperoleh

f(ab) = |ab| = |a||b| = f(a)f(b).

Jadi, f homomorfisma. Selanjutnya akan diselidiki apakah f epimorfisma atau monomorfisma. Karena f(1)=1 dan f(-1)=1. Beakibat terdapat 1,-1 \in R^* yang 1 \neq -1 sedemikian hingga f(1)=f(-1). Jadi, f bukan monomorfisma.

Dari definisi f(a)=|a|, jelas terlihat bahwa tidak mungkin menemukan pasangan di domain jika mengambil -1 \in R^* di kodomain. Jadi, f bukan epimorfisma. \square Baca lebih lanjut

Homomorfisma Natural


Perhatikan contoh berikut ini. Diberikan S_3 dan subgrup normal H = \left\{ \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 1&2&3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 2&3&1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 3&1&2 \end{pmatrix} \right\}.

Didefinisikan f : S_3 \to S_3/H oleh f(\alpha) = \alpha H untuk setiap \alpha \in S_3. Perhatikan bahwa

f(\alpha \circ \alpha') = (\alpha \circ \alpha')H = (\alpha H) \circ (\alpha' H) = f(\alpha) \circ f(\alpha')

Untuk sebarang \alpha, \alpha' \in S_3. Oleh karena itu, f homomorfisma. Lebih jauh

Ker(f) = \{ \alpha \in S_3 | \alpha H = H \} = \{ \alpha \in S_3 | \alpha \in H \} = H

Dari contoh tersebut, dapat dilihat bahwa jika dipunyai grup dan subgrup normal, selalu dapat dibentuk grup faktor. Selanjutnya pasti dapat dibentuk homomorfisma dari grup ke grup faktor, di mana homomorfisma yang demikian itu dinamakan Homomorfisma Natural. Dan lebih jauh, kernel dari homomorfisma sama dengan subgrup normalnya. Sehingga diperoleh teorema sebagai berikut.

Teorema 1.

Diberikan H subgrup normal dari G. Didefinisikan fungsi g dari G ke grup faktor G/H oleh g(a)=aH untuk setiap a \in G. Maka g merupakan homomorfisma dan Ker(g)=H. (Homomorfisma g disebut Homomorfisma Natural dari G ke G/H)

Bukti.

Ambil sebarang a,b \in G. Akan dibuktikan g homomorfisma. Perhatikan

g(ab) = (ab)H = (aH)(bH) = g(a)g(b).

Oleh karena itu, g merupakan homomorfisma. Selanjutnya akan dibuktikan Ker(g)=H. Sekarang perhatikan

a \in Ker(g) \Leftrightarrow g(a)=eH

\Leftrightarrow aH=eH

\Leftrightarrow e^{-1}a \in H

\Leftrightarrow a \in H

Oleh karena itu, Ker(g) = H. \blacksquare

Kernel dan Image Homomorfisma Grup


Selanjutnya telah diketahui bahwa homomorfisma f dari G ke G_1 selalu memetakan e \in G ke e_1 \in G_1. Tetapi ada juga anggota lain di G yang dipetakan ke e_1. Sehingga apabila dihimpun anggota-anggota di G yang dipetakan ke e_1, akan membentuk definisi baru yang memiliki struktur. Berikut diberikan definisi

Definisi 1.

Diberikan f : G \to G_1 homomorfisma grup, maka kernel dari f, dinotasikan Ker(f), didefinisikan sebagai berikut.

Ker(f) = f^{-1}(e_1) = \{ a \in G| f(a)=e_1 \}

dengan e_1 identitas di G_1.

Contoh 2.

Diberikan homomorfisma grup f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_8 dengan definisi f(a) = a \mod 8. Tentukan kernel dari f.

Ker(f) = \{ a \in \mathbb{Z} | f(a)=[0] \}

= \{ a \in \mathbb{Z} | a \mod 8 = [0] \}

= \{ a \in \mathbb{Z} | a = 8n, n \in \mathbb{Z} \}

= \{ 8n | n \in \mathbb{Z} \}

= 8\mathbb{Z}. \square Baca lebih lanjut

Homomorfisma Grup


Pada tulisan ini akan berfokus pada pemetaan antar grup. Pemetaan ini akan didefinisikan dengan mempertahankan (mengawetkan) struktur aljabar yaitu grup. Lebih jauh, misal diberikan fungsi f dari grup G ke grup G_1 dengan * dan *_1 merupakan operasi pada G dan G_1.

Sebagai contoh, diberikan fungsi f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+ yang didefinisikan f(a) = e^a untuk setiap a \in \mathbb{R}. Perhatikan, ambil sebarang a,b \in \mathbb{R}

f(a+b) = e^{a+b} = e^a \cdot e^b = f(a) \cdot f(b)

Jadi, f(a+b) = f(a) \cdot f(b).

Contoh tersebut merupakan motivasi dari definisi homomorfisma grup.

Definisi 1.

Diberikan grup (G,*) dan (G_1,*_1) serta f fungsi dari G ke G_1. Maka f disebut homomorfisma jika untuk setiap a,b \in G, berlaku

f(a*b) = f(a) *_1 f(b)

Identitas pada grup G dan G_1 berturut-turut dinotasikan dengan e dan e_1.

Setiap pemetaan dari grup G dan G_1 pasti dapat ditemukan homomorfisma. Karena setiap grup pasti memiliki elemen identitas maka G_1 identitasnya e_1. Definisikan f : G \to G_1 dengan f(a)=e_1 untuk semua a \in G. Perhatikan,

f(a*b) = e_1 = e_1 *_1 e_1 = f(a) *_1 f(b)

Jadi, f merupakan homomorfisma dari G ke G_1. Baca lebih lanjut