Persamaan Garis SInggung Elips Melalui suatu Tititk (1)


Seperti pada tulisan sebelumnya, Persamaan Garis Singgung Elips dengan Gradien Tertentu, pada kesempatan ini akan dibahas lagi Persamaan Garis Singgung Elips tapi melalui suatu titik. Titik yang dimaksud adalah bisa terletak pada Elips itu sendiri atau diluar elips. Yang pertama, perhatikan untuk titik yang melalui elips (untuk kasus titik yang terletak diluar elips, akan dibahas pada tulisan selanjutnya). Misal diberikan elips dengan pusat di (0,0), yaitu \dfrac{x^2}{p} + \dfrac{y^2}{q} =1 dan titik (x_1, y_1) yang melalui elips. Sehingga diperoleh persamaan garis yang melalui titik tersebut adalah y-y_1 = m(x-x_1). Selanjutnya, disubtitusi persamaan garis tersebut ke dalam persaaan elips, diperoleh,

\dfrac{x^2}{p} + \dfrac{(y_1 + m(x-x_1))^2}{q} = 1

\dfrac{q x^2 + p(y_1 + m(x-x_1))^2}{pq} = 1

qx^2 + p(y_1 + m(x-x_1))^2) = pq

qx^2 + p(y_1^2 + 2 y_1 m(x-x_1) + m^2(x-x_1)^2) = pq

qx^2 + p(y_1^2 + 2 y_1 mx -2y_1x_1 + m^2(x^2 -2x_1x + x_1^2)) = pq

qx^2 + py_1^2 + 2 p y_1 mx -2py_1x_1 + pm^2x^2 -2pm^2x_1x + pm^2x_1^2 = pq

(pm^2+q)x^2 + (2py_1m -2pm^2x_1)x + (py_1^2 -2py_1x_1 + pm^2x_1^2) = pq

(pm^2+q)x^2 + (2py_1m -2pm^2x_1)x + (py_1^2 -2py_1x_1 + pm^2x_1^2 -pq) = 0

Syarat menyinggung D = 0, atau dengan kata lain persamaan kuadrat di atas memeiliki dua akar kembar, yaitu x_1 = x_2. Baca lebih lanjut

Persamaan Garis Singgung Elips dengan Gradien Tertentu


Misal diberikan elips dengan persamaan \dfrac{x^2}{p} + \dfrac{y^2}{q} = 1. Selanjutnya misalkan terdapat garis y = mx + n sedemikian hingga menyinggung elips. Karena garis y menyinggung elips, maka berakibat diskriminannya sama dengan nol, yaitu D=0. Perhatikan.

\dfrac{x^2}{p} + \dfrac{y^2}{q} = 1

\dfrac{x^2}{p} + \dfrac{(mx+n)^2}{q} = 1

\dfrac{qx^2 + p(mx+n)^2}{pq} = 1

qx^2 + p(m^2x^2+2mnx+n^2) = pq

qx^2 + pm^2x^2 + 2pmnx + pn^2- pq = 0

(x^2 + pm^2)x^2 + 2pmnx + p(n^2- q) = 0

Karena diskiriminannya sama dengan nol, dipeorleh Baca lebih lanjut

Persamaan Garis Singgung Lingkaran (2)


Tulisan ini merupakan kelanjutan dari Persamaan Garis Singgung Lingkaran (1) yaitu mencari persamaan garis  singgung lingkaran yang melalui suatu titik singgung. Tulisan kali ini merupakan bagaimana mencari persamaan garis singgung jika diketahui gradien garis singgung. Dalam hal ini memiliki dua kondisi seperti sebelumnya yaitu untuk lingkaran yang berpusat titik O(0,0) dan jari-jari r dan untuk lingkaran dengan titik pusat A(a,b) dengan jari-jari r. Baik, pada tulisan ini saya akan paparkan satu per satu.

1.   Lingkaran dengan Pusat di O(0,0) dan jari-jari r

Persamaan garis singgung lingkaran L \equiv x^2+y^2=r^2 apabila gradien garis singgung m diketahui. Sehingga diperoleh persamaan garis yaitu y = mx + n. Selanjutnya substitusi persamaan garis singgung ke persamaan lingkaran, diperoleh

x^2+(mx+n)^2=r^2

x^2 + m^2x^2 + 2mnx + n^2 = r^2

(1+m^2)x^2 + 2mnx + (n^2-r^2) = 0 Baca lebih lanjut

Persamaan Garis Singgung Lingkaran (1)


Pada tulisan sebelumnya sudah dijelaskan tentang Persamaan Lingkaran. Pada tulisan ini akan dipaparkan tentang Persamaan Garis Singgung Lingkaran yaitu persamaan garis yang melalui suatu titik. Persamaan garis singgung yang seperti ini memiliki dua kondisi yaitu untuk lingkaran yang berpusat titik O(0,0) dan jari-jari r dan untuk lingkaran dengan titik pusat A(a,b) dengan jari-jari r. Baik, pada tulisan ini saya akan paparkan satu per satu.

1.   Lingkaran dengan Pusat di O(0,0) dan jari-jari r

Perhatikan gambar di bawah ini.

PGSL_01

Pada gambar di atas, garis g adalah garis singgung lingkaran L \equiv x^2+y^2=r^2 dan P(x_1,y_1) adalah titik singgungnya. Hal ini berarti titik P(x_1,y_1) terletak pada lingkaran L \equiv x^2+y^2=r^2 sehingga berakibat x_1^2 + y_1^2 = r^2. Baca lebih lanjut

Persamaan Garis Singgung Lingkaran dengan Gradien Tertentu (1)


Tulisan ini spesial buat pengunjung blog Math Is Beautiful, khusunya mas Hendra Cipto. Semoga tulisan ini bermanfaat. Dalam tulisan ini saya akan mencoba membuktikan Persamaan Garis Singgung Lingkaran dengan gradien m. Pertama, perhatikan gambar dibawah ini.

gambar menyusul

gambar diatas menjelaskan bahwa lingkaran dengan titik pusat di (a, b), dengan jari-jari r, dan melalui titik (x1, y1) disinggung oleh garis g. Seperti yang kita ketahui bahwa persamaan umum lingkaran dengan pusat (a, b) dan jar-jari r yaitu (x – a)2 + (y – b)2 = r2 dan misal garis g \equiv (y – b) = m(x – a) + n. Baca lebih lanjut