Ring


Pada tulisan sebelumnya sudah dibahas tentang sistem matematika dengan satu operasi biner yang memenuhi aksioma tertentu, yaitu Grup. Selanjutnya, terdapat sistem matematika dengan dua operasi biner yaitu penjumlahan dan perkalian, yakni dinamakan Ring. Misal dipunyai himpunan R tak kosong dengan operasi biner + dan \cdot, R disebut Ring jika memenuhi beberapa aksioma yaitu R terhadap operasi + merupakan Grup Komutatif dan R terhadap operasi \cdot bersifat asosiatif serta R terhadap operasi + dan \cdot bersifat distributif, baik kiri maupun kanan. Berikut diberikan definisi lengkapnya.

Definisi 1.

Misal R adalah himpunan tak kosong dengan dua operasi biner, yaitu operasi penjumlahan + dan perkalian \cdot. Maka R adalah ring jika memenuhi:

a.  Untuk setiap a,b,c \in R berlaku (a+b)+c=a_(b+c).

b.  Terdapat elemen identitas e \in R sedemikian hingga a+0=0+a=a untuk setiap a \in R.

c.  Untuk setiap a \in R, terdapat a^{-1} \in R sedemikian hingga a+a^{-1} = a^{-1}a = e.

d.  Untuk setiap a,b \in R berlaku a+b=b+a.

e.  Untuk setiap a,b,c \in R berlaku (a \cdot b ) \cdot c = a \cdot (b \cdot c).

f.  Untuk setiap a,b,c \in R berlaku a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c dan (b + c) \cdot a = b \cdot a + c \cdot a.

Contoh ring yang paling terkenal adalah bilangan bulat \mathbb{Z}, rasional \mathbb{Q}, riil \mathbb{R} dan kompleks \mathbb{C} terhadap operasi penjumlahan dan perkalian biasa. Baca lebih lanjut