Daerah Integral


Secara umum jika dua bilangan pada bilangan riil (lapangan) dan hasil kalinya sama dengan nol, maka salah satu bilangan tersebut pasti ada yang nol. Tetapi pada ring R tidak berlaku demikian. Misal diberikan ring \mathbb{Z}_6 dengan operasi penjumlahan dan perkalian biasa. Pilih [2], [3] \in \mathbb{Z}, maka diperoleh [2] \cdot [3] = [0], padahal [2],[3] \neq [0]. Tetapi di sisi lain berlkau juga [0] \cdot [1] = [0], [0] \cdot [2] = [0], dst. Oleh karena itu, muncul definisi dari Elemen Pembagi Nol. Berikut diberikan definisinya.

Definisi 1.

Misalkan R suatu ring dan a \in R, a \neq 0 maka

1.  a disebut elemen pembagi nol kiri jika \exists b \in R, b \neq 0 sedemikian hingga ab = 0

2.  a disebut elemen pembagi nol kanan jika \exists b \in R, b \neq 0 sedemikian hingga ba = 0

Dapat disimpulkan, pembagi nol adalah jika pada suatu ring R, a \in R, a \neq 0 dan \exists b \in R, b \neq 0 sedemikian hingga ab = ba = 0. Selanjutnya, a bukan elemen pembagi nol jika \forall b \in R, b \neq 0, ab \neq 0. Apabila R mempunyai elemen satuan e, maka e bukan pembagi nol, karena \forall b \in R, be = eb = b. Baca lebih lanjut

Sifat-Sifat Ring


Pada tulisan ini akan diberikan beberapa sifat ring.

Teorema 1.

Diberikan ring R dan a,b,c \in R. Maka

a.  a0 = 0a = 0

b.  a(-b) = (-a)b = -ab

c.  (-a)(-b) = ab

d.  a(b-c)=ab-ac dan (b-c)a = ba-ca

Bukti.

Ambil sebarang a,b,c \in R.

a.  Dari sifat distributif ring, diperoleh a0+a0 = a(0+0). Karena sifat 0 pada penjumlahan, berbakibat a0+a0 = a0. Karena a0 \in R, berakibat -a0 \in R. Diperoleh

(a0+a0)+(-a0)=a0+(-a0)

a0+(a0+(-a0))=0

a0+0=0

a0=0

Dengan, cara yang sama diperoleh 0a=0. Baca lebih lanjut

Ring


Pada tulisan sebelumnya sudah dibahas tentang sistem matematika dengan satu operasi biner yang memenuhi aksioma tertentu, yaitu Grup. Selanjutnya, terdapat sistem matematika dengan dua operasi biner yaitu penjumlahan dan perkalian, yakni dinamakan Ring. Misal dipunyai himpunan R tak kosong dengan operasi biner + dan \cdot, R disebut Ring jika memenuhi beberapa aksioma yaitu R terhadap operasi + merupakan Grup Komutatif dan R terhadap operasi \cdot bersifat asosiatif serta R terhadap operasi + dan \cdot bersifat distributif, baik kiri maupun kanan. Berikut diberikan definisi lengkapnya.

Definisi 1.

Misal R adalah himpunan tak kosong dengan dua operasi biner, yaitu operasi penjumlahan + dan perkalian \cdot. Maka R adalah ring jika memenuhi:

a.  Untuk setiap a,b,c \in R berlaku (a+b)+c=a_(b+c).

b.  Terdapat elemen identitas e \in R sedemikian hingga a+0=0+a=a untuk setiap a \in R.

c.  Untuk setiap a \in R, terdapat a^{-1} \in R sedemikian hingga a+a^{-1} = a^{-1}a = e.

d.  Untuk setiap a,b \in R berlaku a+b=b+a.

e.  Untuk setiap a,b,c \in R berlaku (a \cdot b ) \cdot c = a \cdot (b \cdot c).

f.  Untuk setiap a,b,c \in R berlaku a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c dan (b + c) \cdot a = b \cdot a + c \cdot a.

Contoh ring yang paling terkenal adalah bilangan bulat \mathbb{Z}, rasional \mathbb{Q}, riil \mathbb{R} dan kompleks \mathbb{C} terhadap operasi penjumlahan dan perkalian biasa. Baca lebih lanjut