Subruang Vektor


Setelah membahas ruang vektor, pada kesempatan ini akan dibahas subruang vektor. Jika dipunyai ruang vektor V, maka \{0\} pasti memenuhi aksioma ruang vektor. Jadi, jika dipunyai ruang vektor V dan subhimpunan tak kosong W \subseteq V dan W memenuhi aksioma sebagai ruang vektor, maka W dinamakan subruang vektor. Oleh karena itu, didefinisikan subruang vektor.

Definisi 1.

Diberikan V ruang vektor dan W subhimpunan tak kosong dari V. Subhimpunan W disebut subruang vektor dari V jika W merupakan ruang vektor terhadap operasi yang sama terhadap V.

Apakah setiap ingin mengecek suatu subhimpunan merupakan subruang vektor harus mengecek 10 aksioma dari ruang vektor? Tidak. Lalu bagaimana caranya? Perlu diperhatikan bahwa, misal diketahui V ruang vektor dan W \subseteq V, maka sifat asosiatif pada ruang vektor V akan diwariskan atau akan secara otomatis berlaku pada subhimpunan W, begitu juga untuk sifat komutatif terhadap operasi ‘penjumlahan’. Selanjutnya karena elemen identitas di V adalah tunggal, maka elemen identitas juga ada di W. Selanjutnya karena setiap anggota ruang vektor V memiliki invers, berakibat setiap anggota di W juga pasti punya invers. Dengan alasan yang sama, aksioma yang lain juga pasti diwariskan dari V ke subhimpunan W. Sehingga untuk mengecek suatu subhimpunan merupakan subruang dari suatu ruang vektor tidak harus mengecek semua aksioma, berikut diberikan teorema subruang. Baca lebih lanjut

Sifat Ruang Vektor


Pada tulisan ini akan dibahas sebuah teorema ruang vektor, yaitu sebagai berikut.

Teorema 1.

Diberikan V ruang vektor atas lapangan F dan misal 0_V adalah nol vektor. Maka

1.  a0_V = 0_v untuk setiap a \in F

2.  0x=0 untuk setiap x \in V dan 0 \in F

3.  (-a)x = a(-x) untuk setiap a \in F dan setiap x \in V

4.  a(x-y) = ax-ay untuk setiap a \in F dan x,y \in V

5.  Jika ax=0_V maka a=0 atau x=0_V dengan a \in F dan x \in V

6.  Jika ax=bx maka a=b untuk a,b \in F dan vektor tak nol x \in V

7.  Jika ax=ay maka x=y untuk x,y \in V dan skalar tak nol a \in F

Bukti.

1.  Ambil sebarang a \in F. Perhatikan bahwa a0_V = a(0_V+0_V), berakibat a0_V = a0_V+a0_V. Karena a0_V \in V (pandang V sebagai grup), maka terdapat -a0_V \in V. Sehingga diperoleh

-a0_V + a0_V = -a0_V + (a0_V + a0_V)

-a0_V + a0_V = (-a0_V + a0_V) + a0_V

0_V = 0_V + a0_V

0_V = a0_V Baca lebih lanjut

Ruang Vektor


Definisi 1.

Diberikan (F,+,\cdot) adalah sebarang lapangan dan misalkan V suatu himpunan tak kosong V disebut ruang vektor atas F jika terdapat operasi biner + (penjumlahan vektor dan \cdot (perkalian skalar) sehingga untuk setiap u,v,w \in V dan \alpha, \beta \in F memenuhi aksioma-aksioma di bawah ini.

1.  Tertutup dibawah penjumlahan vektor

u+v \in V

2.  Asosiatif

u + (v + w) = (u + v) + w

3.  Terdapat identitas penjumlahan

\exists 0_V \in V \ni 0_V + u = u + 0_V

4.  Terdapat invers penjumlahan

\forall u \in V, \exists -u \in V \ni u+(-u) = (-u)+u = 0_V

5.  Komutatif

u + v = v + u

6.  Tertutup dibawah perkalian skalar

\alpha u \in V

7.  Distributif

\alpha (u+v) = \alpha u + \alpha v

8.  Distributif

(\alpha + \beta)u = \alpha u + \beta u

9.  \alpha(\beta u) = (\alpha \beta)u

10.1_F \cdot u = u

Jika diperhatikan aksioma 1 sampe aksioma 5 merupakan aksioma-aksioma Grup Komutatif. Perlu diperhatikan juga bahwa operasi yang ada pada ruang vektor ini ada empat. Yang pertama, operasi penjumlahan “+” pada vektor itu sendiri. Kedua, ada penjumlahan pada lapangan (skalar). Selanjutnya ada operasi perkalian “\cdot” antar skalar. Dan yang terakhir operasi perkalian antar vektor dan skalar. Oleh karena itu, perlu hati-hati dalam mengecek apakah suatu himpunan termasuk ruang vektor atau bukan. Baca lebih lanjut