Sifat Ruang Vektor


Pada tulisan ini akan dibahas sebuah teorema ruang vektor, yaitu sebagai berikut.

Teorema 1.

Diberikan V ruang vektor atas lapangan F dan misal 0_V adalah nol vektor. Maka

1.  a0_V = 0_v untuk setiap a \in F

2.  0x=0 untuk setiap x \in V dan 0 \in F

3.  (-a)x = a(-x) untuk setiap a \in F dan setiap x \in V

4.  a(x-y) = ax-ay untuk setiap a \in F dan x,y \in V

5.  Jika ax=0_V maka a=0 atau x=0_V dengan a \in F dan x \in V

6.  Jika ax=bx maka a=b untuk a,b \in F dan vektor tak nol x \in V

7.  Jika ax=ay maka x=y untuk x,y \in V dan skalar tak nol a \in F

Bukti.

1.  Ambil sebarang a \in F. Perhatikan bahwa a0_V = a(0_V+0_V), berakibat a0_V = a0_V+a0_V. Karena a0_V \in V (pandang V sebagai grup), maka terdapat -a0_V \in V. Sehingga diperoleh

-a0_V + a0_V = -a0_V + (a0_V + a0_V)

-a0_V + a0_V = (-a0_V + a0_V) + a0_V

0_V = 0_V + a0_V

0_V = a0_V Baca lebih lanjut