Pembahasan Matematika Ujian Nasional SMA 2015/2016 (3)


  1. Sebuah kapal mulai bergerak dari pelabuhan A pada pukul 07.00 dengan arah 030^0 dan tiba di pelabuhan B setelah 4 jam bergerak. Pukul 12.00 kapal bergerak kembali dari pelabuhan B menuju pelabuhan C dengan memutar haluan 150^0 dan tiba di pelabuhan C pukul 20.00. Kecepatan rata-rata kapal 50 mil/jam. Jarak tempuh kapal dari pelabuhan C ke pelabuhan A adalah …

    A. 200\sqrt{2} mil

    B. 200\sqrt{3} mil

    C. 200\sqrt{6} mil

    D. 200\sqrt{7} mil

    E. 600 mil

    PEMBAHASAN.

    Waktu tempuh dari pelabuhan A ke B adalah 4 jam dan waktu tempuh dari pelabuhan B ke C : 20.00 dikurangi 12.00 = 8 jam. Sehingga diperoleh jarak A ke B, yaitu s_{AB} dan jarak B ke C, yaitu s_{BC}. Perhatikan,

    \begin{array}{rl} s_{AB} &= v \times t_{AB} = 50 \times 4 = 200\\ s_{BC} &= v \times t_{BC} = 50 \times 8 = 400. \end{array}

    Dari gambar di soal, didapat \angle UBA = 180^0-030^0 = 150^0 dan \angle ABC = 360^0-150^0- 150^0 = 60^0. Perhatikan,

    \begin{array}{rl} AC^2 &= AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos 60^0\\ &= 200^2 + 400^2 - 2 \cdot 200 \cdot 400 \cdot \dfrac{1}{2}\\ &= 40000 + 160000 - 80000\\ AC &= \sqrt{120000}\\ &= \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 100 \cdot 100 \cdot 3} = 200\sqrt{3}. \end{array}

    Jadi, jarak antara pelabuhan C dan A adalah 200\sqrt{3} mil.

    JAWABAN : B Baca lebih lanjut

Pembahasan Matematika Ujian Nasional SMA 2015/2016 (2)


  1. Suku banyak f(x)=2x^3-5x^2+ax+18 habis dibagi oleh (x-3). Hasil bagi f(x) oleh (x+1) adalah …

    A. 2x^2-7x+2

    B. 2x^2+7x-2

    C. 2x^2-7x-2

    D. x^2-6x-3

    E. x^2-6x+3

    PEMBAHASAN.

    f(x) habis dibagi oleh x-3 artinya, nilai f(x) untuk x=3 sama dengan 0 (nol). Sehingga diperoleh

    \begin{array}{rl} f(3) &= 2(3)^3-5(3)^2+a(3)+18\\ 0 &= 54-45+3a+18\\ 0 &= 27+3a\\ -3a &= 27\\ a &= -9. \end{array}

    Berakibat diperoleh f(x)=2x^3-5x^2-9x+18. Dengan menggunakan pembagian, didapat

    JAWABAN : C Baca lebih lanjut

Pembahasan Matematika Ujian Nasional SMA 2016/2017 (3)


  1. Diketahui grafik fungsi y=2x^2-3x+7 berpotongan dengan garis y=4x+1 salah satu persamaan garis singgung yang melalui tituk potong kurva dan garis tersebut adalah …

    A. y=5x+7

    B. y=5x-1

    C. y=x+5

    D. y=3x-7

    E. y=3x+5

    PEMBAHASAN.

    Pertama akan dicari titik potong grafik dengan garis. Perhatikan,

    \begin{array}{rl} 2x^2-3x+7 &= 4x+1\\ 2x^2-7x+6 &= 0\\ (2x-3)(2x-4) &= 0. \end{array}

    Sehingga diperoleh x_1= \dfrac{3}{2} atau x_2 = 2. Selanjutnya dicari titik y, dengan mensubstitusikan nilai x_1 dan x_2 ke persamaan garis y=4x+1, diperoleh y_1=7 dan y_2=9. Sehingga diperoleh titik potongnya, yaitu \left( \dfrac{3}{2}, 7 \right) dan (2,9). Dari Selanjutnya didapat turunan pertama dari fungsi y adalah y' = 4x-3. Kemudian akan dicari gradien garis untuk masing-masing titik singgung. Perhatikan,

    \begin{array}{lccr} \text{untuk } x_1=\dfrac{3}{2} &&& \text{untuk } x_2=2\\ &&&\\ y'\left( \dfrac{3}{2} \right) = 4\left( \dfrac{3}{2} \right)-3 = 3 &&& y'\left( 2 \right) = 4\left( 2 \right)-3 = 5. \end{array}

    Sehingga didapat gradien untuk titik \left( \dfrac{3}{2}, 7 \right) adalah m=3 dan titik (2,9) adalah m=5. Persamaan garis singgung (PGS)

    \begin{array}{lccl} \text{ PGS untuk titik } \left( \dfrac{3}{2}, 7 \right) \text{ dan } m=3 &&& \text{ PGS untuk titik} (2,9) \text{ dan } m=5\\ &&&\\ (y-y_1) = m(x-x_1) &&& (y-y_1) = m(x-x_1)\\ (y-7) = 3\left(x-\dfrac{3}{2} \right) &&& (y-9) = 5(x-2)\\ y-7 = 3x-\dfrac{9}{2} &&& y-9 = 5x-10\\ y = 3x-\dfrac{9}{2}+7 &&& y = 5x-10+9\\ = 3x+\dfrac{5}{2} &&& = 5x-1. \end{array}

    JAWABAN : B Baca lebih lanjut

Pembahasan Matematika UN SMA 2014/2015 (4)


1.  Icha akan meniup balon karet berbentuk bola. Ia menggunakan pompa untuk memasukkan udara dengan laju pertambahan volume udara 40 cm3/detik. Jika laju pertambahan jari-jari bola 20 cm/detik, jari-jari bola setelah ditiup adalah …

A. \dfrac{1}{\sqrt{\pi}}~cm

B. \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}~cm

C. \dfrac{1}{2\sqrt{\pi}}~cm

D. \dfrac{2}{3\sqrt{\pi}}~cm

E. \pi~cm

Pembahasan

Diketahui : \dfrac{dV}{St} = 40 dan \dfrac{dr}{dt}=20

V = \dfrac{4}{3} \pi r^3

\dfrac{dV}{dr} = 4 \pi r^2

Dilain pihan,

\dfrac{dV}{dt} = \dfrac{dV}{dr} \dfrac{dr}{dt}

40 = (4 \pi r^2)20

r^2 = \dfrac{40}{4 \cdot 20 \pi} = \dfrac{1}{2\pi}

r = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}

Jawaban : B Baca lebih lanjut

Pembahasan Matematika UN SMA 2014/2015 (3)


1.  Persamaan grafik fungsi adalah …

 un_math_2015_21

A. y = ^3\log x

B. y = ^{3x}\log 3-x

C. y = ^3\log \dfrac{1}{x}

D. y = ^{3x}\log 3 -1

E. y = ^{\frac{3}{x}}\log \dfrac{1}{3} +1

Pembahasan

Pada grafik di atas, diperoleh

f(1) = 0

f(3) = 1

Kemudian kita substitusi nilai x ke fungsi pada pilihan gandanya, fungsi mana yang sesuai.

1.  f(1) = ^3\log x = ^3\log 1 = 0

f(3) = ^3\log 3 = 1

2.  f(1) = ^{3x}\log 3-x = ^{3}\log 3-1 =1-1=0

f(3) = ^{3.3}\log 3-3 = \dfrac{1}{3}-3 =-\dfrac{8}{3} (tidak sesuai)

3.  f(1) = ^3\log \dfrac{1}{x} = ^3\log \dfrac{1}{1} = 0

f(3) = ^3\log \dfrac{1}{3} = -1 (tidak sesuai)

4.  f(1) = ^{3x}\log 3 -1 = ^{3}\log 3 -1 = 1-1 = 0

f(3) = ^{3.3}\log 3 -1 = ^{9}\log 3 -1 = \dfrac{1}{3}-1 = -\dfrac{2}{3} (tidak sesuai)

5.  f(1) = ^{\frac{3}{x}}\log \dfrac{1}{3} +1 = ^{\frac{3}{1}}\log \dfrac{1}{3} +1 = -1+1 = 0

f(3) = ^{\frac{3}{3}}\log \dfrac{1}{3} +1 (tidak sesuai)

Berdasarkan hasil pengujian titik di atas, fungsi yang sesuai adalah y = ^3\log x

Jawaban : A Baca lebih lanjut

Pembahasan Matematika UN SMA 2014/2015 (2)


1.  Suku banyak f(x) = 2x^3+ax^2+bx-5 dibagi oleh x^2-x-2 bersisa 3x+2. Nilai a+b adalah …

A. 6

B. 3

C. -3

D. -6

E. -12

Pembahasan

f(x) = (x^2-x-2)H(x)+px+q

2x^3+ax^2+bx-5 = (x-2)(x+1)H(x)+(3x+2)

Perhatikan bahwa

Untuk x=2,

Diperoleh sisanya = 3(2)+2 = 8. Dan

f(2) = 2(2)^3+a(2)^2+b(2)-5

8 = 16 + 4a + 2b -5

4a + 2b = -3 … (i)

Untuk x=-1,

Diperoleh sisanya = 3(-1)+2 = -1. Dan

f(-1) = 2(-1)^3+a(-1)^2+b(-1)-5

-1 = -2 + a -b -5

a-b = 6 … (ii)

Substitusi pers (ii) ke (i), diperoleh

4(6+b) + 2b = -3

24+4b+2b = -3

6b=-27 \Rightarrow b=-\dfrac{9}{2}

Substitusi b=-\dfrac{9}{2} ke pers (ii), diperoleh a+\dfrac{9}{2} = 6 \Leftrightarrow a=\dfrac{3}{2}. Jadi, a+b = -3.

Jawaban : C Baca lebih lanjut