Sifat-Sifat Subgrup Normal


Setelah penjelasan Subgrup Normal pada tulisan sebelumnya, selanjutnya diberikan beberapa sifat pada subgrup normal.

Teorema 1.

Setiap subgrup dari grup komutatif merupakan subgrup normal.

Bukti.

Diketahui G grup komutatif dan H subgrup G. Ambil sebarang g \in G. Akan dibuktikan gH = Hg. Karena G grup komutatif, maka untuk sebarang h \in H \subseteq G berakibat gh=hg. Perhatikan

gH = \{ gh~|~h \in H \} = \{ hg~|~ h \in H \} = Hg.

Jadi, H subgrup normal dari G. \blacksquare

Dengan teorema di atas, apabila diberikan grup komutatif, maka pasti subgrupnya adalah normal. Selanjutnya diberikan karakteristik subgrup normal. Baca lebih lanjut

Teorema Lagrange


Sebelum memasuki Teorema Lagrange, berikut diberikan beberapa sifat dari koset kiri dan kanan.

Teorema 1.

Diberikan G grup, H subgrup G dan a,b \in G. Maka,

aH=H jika dan hanya jika a \in H

aH=bH jika dan hanya jika b^{-1}a \in H

Ha=Hb jik daan hanya jika ab^{-1} \in H

Bukti.

1.   Ambil sebarang a \in G. Misal aH=H. Karena a=ae \in aH dan aH=H, berakibat a \in H. Sebaliknya, misalkan a\in H. Ambil sebarang x \in aH, artinya x=ah untuk suatu h \in H. Karena a,h \in H, diperoleh x \in H. Jadi, aH \subseteq H. Ambil sebarang h \in H. Karena a \in H, berakibat a^{-1} \in H. Sehingga diperoleh a^{-1}h \in H. Dapat ditulis h_1 = a^{-1}h untuk suatu h_1 \in H. Perhatikan,

h = eh = (aa^{-1})h = a(a^{-1}h) = ah_1 \in aH

Jadi, H \subseteq aH. Oleh karena itu, H=aH. Baca lebih lanjut

Gabungan, Irisan dan Perkalian Subgrup


Misal diberikan grup G dan H \subseteq G tak kosong, maka H merupakan subgrup jika dan hanya jika ab^{-1} \in H untuk setiap a,b \in H. Apabila dipunyai dua atau lebih subgrup, apakah gabungan, irisan dan perkalian (product) dari subgrup merupakan subgrup ? Melalui tulisan ini saya akan membahas mengenai itu.

Misal diberikan grup G serta H dan K merupakan subgrup G, apakah H \cup K merupakan subgrup G ? Belum tentu, karena belum ada jaminan pada sifat ketertutupannya. Perhatikan contoh berikut.

Contoh 1.

Diketahui grup G = \mathbb{Z}_6 terhadap operasi +_6 dengan \mathbb{Z}_6 = \{0,1,2,3,4,5\}. Pilih subgrup G yaitu H = \{ 0,2,4 \} dan K = \{ 0,3 \}. Diperoleh H \cup K = \{0,2,3,4 \}. Perhatikan bahwa 3 +_6 4 = 1 \notin H \cup K. Jadi, H \cup K bukan subgrup dari \mathbb{Z}_6. \blacksquare

Selanjutnya, jika dipunyai dua subgrup, maka irisan subgrup membentuk subgrup juga. Baca lebih lanjut

Karakteristik Subgrup


Pada tulisan sebelumnya tentang Subgrup, sudah dijelaskan mengenai definisi dan beberapa sifat serta contoh. Apakah untuk mengecek suatu subgrup atau bukan hanya melalui definisi ?  Jawabannya TIDAK. Berikut diberikan beberapa karakteristik subgrup.

Teorema 1.

Diberikan G grup dan H \subseteq G yang tak kosong. Maka H subgrup dari G jika dan hanya jika untuk setiap a, b \in H berlaku ab^{-1} \in H.

Bukti.

Diketahui H subgrup dari G, ambil sebarang a,b \in H. Karena H subgrup maka terdapat b^{-1} \in H. Berdasarkan sifat ketertutupan subgrup H maka ab^{-1} \in H. Untuk arah sebaliknya, akan ditunjukkan H subgrup. Ekuivalen dengan menunjukkan terdapat identitas e \in H dan untuk sebarang a, b \in H memenuhi ab\in H (sifat tertutup subgrup) serta memiliki invers yaitu a^{-1} sedemikian hingga aa^{-1}=e. Diketahui H \neq \emptyset, H \subseteq G dan ab^{-1} \in H. Berdasarkan yang diketahui, pilih a=b sedemikian sehingga aa^{-1}=e \in H. Ambil sebarang a,b \in H. Berdasarkan yang sudah dibuktikan diperoleh e \in H. Sesuai dengan yang diketahui b^{-1}=eb^{-1} \in H, akibatnya ab=a(b^{-1})^{-1} \in H. Jadi sifat tertutup terpenuhi. Karena e \in H berakibat a^{-1}=ea^{-1} \in H. Jadi setiap a \in H mempunyai invers di H. Sifat asosiatif sudah diturunkan dari sifat grup G. Jadi H merupakan subgrup. \blacksquare

Baca lebih lanjut

Subgrup


Dalam teori himpunan, jika dipunyai himpunan, pasti himpunan tersebut mempunyai subhimpunan, minimal himpunan kosong dan dirinya sendiri. Demikian halnya dalam teori grup. Jika diberikan satu grup (G,\cdot) dan himpunan tak kosong H, maka H akan menjadi subgrup dari grup G jika H terhadap operasi yang sama dengan operasi G membentuk grup juga.

Definisi 1.                                                     

Jika (G, \cdot) grup dan H himpunan tak kosong dengan H \subseteq G. Maka (H, \cdot) disebut subgrup dari (G, \cdot) jika (H, \cdot) grup.

Contoh 2.

Perhatikan koleksi grup dibawah ini :

1.  (\{ 0 \}, +), (\mathbb{Z}, +), (\mathbb{Q}, +), (\mathbb{R}, +), (\mathbb{C}, +)

2.  (\{0\}, \cdot), (\mathbb{Q} \backslash \{ 0 \}, \cdot), (\mathbb{R} \backslash \{0 \}, \cdot), (\mathbb{C} \backslash \{ 0 \}, \cdot)

Pada masing-masing operasi yaitu + dan \cdot yang merupakan operasi penjumlahan dan perkalian biasa. Setiap grup merupakan subgrup dari grup yang berada disebelah kanannya. Misalnya, (\mathbb{Z}, +) merupakan subgrup dari (\mathbb{Q}, +), (\mathbb{R}, +), dan (\mathbb{C}, +), begitu juga untuk (\mathbb{Q}, +) merupakan subgrup dari (\mathbb{R}, +) dan (\mathbb{C}, +). Selanjutnya, (\mathbb{Q} \backslash \{0\}, \cdot) merupakan subgrup dari (\mathbb{R} \backslash \{0\},\cdot) dan (\mathbb{C} \backslash \{0\}, \cdot) serta (\mathbb{R} \backslash \{0\}, \cdot) merupakan subgrup dari (\mathbb{C} \backslash \{0\},\cdot). Baca lebih lanjut