Isomorfisma Grup


Definisi 1.

Diberikan grup G dan G_1. Homomorfisma f : G \to G_1 disebut epimorfisma jika f fungsi pada (surjektif) pada G_1 dan f disebut monomorfisma jika f fungsi satu-satu (injektif).

Contoh 2.

Diberikan grup R^* yaitu grup bilangan riil tak nol terhadap operasi perkalian. Didefinisikan f : R^* \to R^* dengan f(a)=|a|. Apakah f epimorfisma atau monomorfisma ?

Ambil sebarang a,b \in R^*. Diperoleh

f(ab) = |ab| = |a||b| = f(a)f(b).

Jadi, f homomorfisma. Selanjutnya akan diselidiki apakah f epimorfisma atau monomorfisma. Karena f(1)=1 dan f(-1)=1. Beakibat terdapat 1,-1 \in R^* yang 1 \neq -1 sedemikian hingga f(1)=f(-1). Jadi, f bukan monomorfisma.

Dari definisi f(a)=|a|, jelas terlihat bahwa tidak mungkin menemukan pasangan di domain jika mengambil -1 \in R^* di kodomain. Jadi, f bukan epimorfisma. \square Baca lebih lanjut

Fungsi Bijektif (Satu-Satu dan Pada)


Dalam suatu fungsi ada yang merupakan hanya Fungsi Pada atau Fungsi Satu-Satu saja tapi ada yang termasu kedua-duanya. Fungsi yang merupakan fungsi satu-satu dan pada biasanya disebut dengan Fungsi Bijeksi. Secara matematis ditulis sebagai berikut.

Definisi :

Pemetaan (fungsi) f : A \rightarrow B dikatakan bijeksi (bijection) jika f adalah Fungsi Satu-Satu dan Fungsi Pada.

Baca lebih lanjut

Fungsi Pada (Surjektif)


Misalkan f merupakan fungsi dari A ke B maka f disebut Fungsi Pada jika setiap unsur B di kodomain maka selalu terdapat unsur dalam A. Secara matematis dapat didedifinisikan sebagai berikut.

Definisi :

Pemetaan (fungsi) f : A \rightarrow B dikatakan Pada, atau Surjektif, jika untuk setiap unsur y \epsilon B terdapat unsur x \epsilon A yang memenuhi f(x) = y

Baca lebih lanjut