x + tan x = 1


Kasus trigonometri yang satu ini bagi saya cukup menarik, dimana x + tan x = 1, perlu diingat bahwa x disini dalam bentuk radian (bukan derajat).

Buktikan terdapat x \in (0, 1) sehingga x + tan x = 1

Bagaimana cara membuktikannya ? Disini saya akan menggunakan sedikit trik (ide) untuk mempermudah pengerjaan. Mari perhatikan,

didefinisikan f : [0, 1] \rightarrow \mathbb{R} dengan f(x) = (x – 1) sin x

f(0) = 0 = f(1)

f terdefinisi pada [0, 1]

f'(x) ada untuk setiap x \in (0, 1), dengan

f'(x) = sin x + (x – 1) cos x

terdapat c \in (0, 1) sehingga f'(c) = 0, yaitu

sin c + (c – 1) cos c = 0

kalikan kedua ruas dengan 1/cos c

tan c + (c – 1) = 0

c + tan c = 1

Bagaimana ? Menarik bukan ?

Jika ada yang punya ide lain, silahkan di share, karena jalan pembuktiannya tidak tunggal. Kalau kata orang bijak “banyak jalan menuju Roma”