x + tan x = 1


Kasus trigonometri yang satu ini bagi saya cukup menarik, dimana x + tan x = 1, perlu diingat bahwa x disini dalam bentuk radian (bukan derajat).

Buktikan terdapat x \in (0, 1) sehingga x + tan x = 1

Bagaimana cara membuktikannya ? Disini saya akan menggunakan sedikit trik (ide) untuk mempermudah pengerjaan. Mari perhatikan,

didefinisikan f : [0, 1] \rightarrow \mathbb{R} dengan f(x) = (x – 1) sin x

f(0) = 0 = f(1)

f terdefinisi pada [0, 1]

f'(x) ada untuk setiap x \in (0, 1), dengan

f'(x) = sin x + (x – 1) cos x

terdapat c \in (0, 1) sehingga f'(c) = 0, yaitu

sin c + (c – 1) cos c = 0

kalikan kedua ruas dengan 1/cos c

tan c + (c – 1) = 0

c + tan c = 1

Bagaimana ? Menarik bukan ?

Jika ada yang punya ide lain, silahkan di share, karena jalan pembuktiannya tidak tunggal. Kalau kata orang bijak “banyak jalan menuju Roma”

Problem(20) : Trigonometri


soal dikirim via email

Buktikan :

\frac{sin(A)+sin(2A)+sin(3A)}{cos(A)+cos(2A)+cos(3A)} = tan 2A

Penyelesaian :

pandang pembilang :

sin A + sin 2A + sin 3A = (sin A + sin 3A) + sin 2A

= 2 sin ½(4A) cos ½(2A) + sin 2A

= 2 sin 2A cos A + sin 2A

= sin 2A (2 cos A + 1)

pandang penyebut :

cos A + cos 2A + cos 3A = (cos A + cos 3A) + cos 2A

= 2 cos ½(4A) cos ½(2A) + cos 2A

= 2 cos 2A cos A + cos 2A

= cos 2A (2 cos A + 1)

sehingga diperoleh :

\frac{sin(2A)[cos(A)+1]}{cos(2A)[cos(A)+1]}

= \frac{sin(2A)}{cos(2A)}

= tan 2A

Problem (16) : Trigonometri


soal dikirim via email

  1. Jika x + y + z = 1800 dan tan x + tan y – 6 tan z = 1800. Buktikan bahwa tan x . tan y = 7

    PEMBAHASAN :

    tan x + tan y = 6 tan z

    tan x + tan y = 6 tan (1800 – (x + y))

    tan x + tan y = -6 tan (x + y)

    tan x + tan y = -6 \frac{tan \quad x+tan \quad y}{1-tan \quad x.tan \quad y}

    (tan x + tan y)(1 – tan x . tan y) = -6(tan x + tan y)

    1 – tan x . tan y = -6

    7 = tan x . tan y Baca lebih lanjut

Penurunan Rumus tan(a + b) dan tan (a – b)


Tulisan ini adalah lanjutan dari tulisan sebelumnya tentang sifat trigonometri sin(a + b) dan sin(a – b) dengan cos(a + b) dan cos(a – b). Tulisan kali ini yaitu tentang membuktikan sifat tan(a + b) = \frac{tan(a)+tan(b)}{1-tan(a).tan(b)} dan tan(a – b) = \frac{tan(a)-tan(b)}{1+tan(a).tan(b)} .

sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b … (i)

cos (a + b) = cos a cos b – sin a sin b … (ii) Baca lebih lanjut

Pembuktian Rumus Trigonometri cos(a + b) dan cos(a – b)


Tulisan ini adalah lanjutan dari tulisan sebelumnya dari pembuktian sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b dan sin (a – b) = sin a cos b – cos a sin b. Sekarang mencoba membuktikan rumus dari cos (a + b). Perhatikan gambar dibawah ini.

Photobucket

cos a = \frac{b}{c}

sin b = \frac{b}{c}

dengan a + b + 900 = 1800

b = 900 – a

sehingga sin (900 – a) = \frac{b}{c}

jadi sin (900 – a) = sin b = cos a Baca lebih lanjut

Bukti Rumus Trigonometri sin(a + b) dan sin(a – b)


Tulisan kali ini mencoba untuk membuktikan salah satu Sifat Dasar Trigonometri yaitu sin (\alpha + \beta) = sin \alpha cos \beta + cos \alpha sin \beta. Pembuktian yang saya lakukan pada tulisan ini yaitu melalui ilustrasi segitiga dengan memanfaatkan Rumus Luas Segitiga dan trigonometri dasar pada segitiga. Perhatikan gambar dibawah ini

Photobucket

Baca lebih lanjut