Ruang Vektor


Definisi 1.

Diberikan (F,+,\cdot) adalah sebarang lapangan dan misalkan V suatu himpunan tak kosong V disebut ruang vektor atas F jika terdapat operasi biner + (penjumlahan vektor dan \cdot (perkalian skalar) sehingga untuk setiap u,v,w \in V dan \alpha, \beta \in F memenuhi aksioma-aksioma di bawah ini.

1.  Tertutup dibawah penjumlahan vektor

u+v \in V

2.  Asosiatif

u + (v + w) = (u + v) + w

3.  Terdapat identitas penjumlahan

\exists 0_V \in V \ni 0_V + u = u + 0_V

4.  Terdapat invers penjumlahan

\forall u \in V, \exists -u \in V \ni u+(-u) = (-u)+u = 0_V

5.  Komutatif

u + v = v + u

6.  Tertutup dibawah perkalian skalar

\alpha u \in V

7.  Distributif

\alpha (u+v) = \alpha u + \alpha v

8.  Distributif

(\alpha + \beta)u = \alpha u + \beta u

9.  \alpha(\beta u) = (\alpha \beta)u

10.1_F \cdot u = u

Jika diperhatikan aksioma 1 sampe aksioma 5 merupakan aksioma-aksioma Grup Komutatif. Perlu diperhatikan juga bahwa operasi yang ada pada ruang vektor ini ada empat. Yang pertama, operasi penjumlahan “+” pada vektor itu sendiri. Kedua, ada penjumlahan pada lapangan (skalar). Selanjutnya ada operasi perkalian “\cdot” antar skalar. Dan yang terakhir operasi perkalian antar vektor dan skalar. Oleh karena itu, perlu hati-hati dalam mengecek apakah suatu himpunan termasuk ruang vektor atau bukan. Baca lebih lanjut

Proyeksi Vektor


Misal kita punya dua buah vektor yaitu a dan u yang berada pada ruang yang sama seperti terlihat pada gambar dibawah ini.

Photobucket

Jika vektor u dan a ditempatkan sedemikian sehingga titik awalnya berimpit dan vektor u disusun dari dua vektor yang saling tegak lurus yaitu w1 dan w2, sehingga vektor u dapat dituliskan sebagai u = w1 + w2. Kemudian vektor a terletak sejajar dengan w1, sedemikian sehingga w1 = ka. Jika kita lihat vektor w1 pada gambar diatas maka vektor w1 diperoleh dari proyeksi ortogonal u terhadap a dan dapat ditulis sebagai w1 = ka, w1 disebut proyeksi ortogonal u pada a [ditulis : proyau] atau dinamakan komponen vector u sepanjang a, sedangkan w2 disebut komponen vektor u yang ortogonal terhadap a. Nilai k ini akan menentukan arah dan panjang dari w1. Jika sudut antara u dan a adalah tumpul , maka tentunya nilai k akan negatif ini juga berarti arah w1 akan berlawanan dengan arah a [perhatikan gambar diatas]. Baca lebih lanjut

Pembuktian Aturan Kosinus


Pasti semua sudah tahu Aturan Kosinus pada Segitiga. Jika kita memiliki segitiga ABC sebarang dengan sisi-sisinya diketahui maka kita bisa mencari besar sudut-sudut segitiga tersebut menggunakan Aturan Kosinus, rumus yang sering kita lihat adalah sebagai berikut AB2 = BC2 + AC2 – 2.BC.AC.\angleC, dimana AB adalah sisi depan sudut serta BC dan AC adalah sisi yang mengapit sudut. Dalam tulisan ini saya akan mencoba menjabarkan bagaimana cara memperoleh rumus tersebut dengan memandang sebuah vektor di ruang-2 atau ruang-3. Sebelumnya perhatikan Definisi dibawah ini. Baca lebih lanjut

Vektor dan Sifat-Sifatnya


Vektor didefinisikan sebagai besaran yang memiliki arah. Kecepatan, gaya dan pergeseran merupakan contoh – contoh dari vektor karena semuanya memiliki besar dan arah walaupun untuk kecepatan arahnya hanya positif dan negatif.

Vektor-vektor dapat dinyatakan secara geometris sebagai segmen-segmen garis terarah atau panah-panah di ruang-2 (R2) atau ruang-3 (R3). Arah panah menentukan arah vektor dan panjang panah menyatakan besarnya vektor. Ekor panah dinamakan titi awal (initial point) dari vektor, dan ujung panah dinamakan titik terminal (terminal point). Vektor biasanya dilambangkan dengan huruf kecil dan tebal, misal a, b, p, q, u dan v atau dengan huruf kecil dan memberi garis panah diatasnya, misal \vec{a}, \vec{b}, \vec{p}, \vec{q}, \vec{u}, dan \vec{v}. Baca lebih lanjut