Volume Bola dengan Integral Lipat Tiga


Pada kesempatan ini saya mencoba untuk membuktikan rumus volume bola = \frac{4}{3} \pi r^3 dengan menggunakan integral lipat 3, setelah pada tulisan sebelumnya Pembuktian Rumus Volume Bola dengan memanfaatkan integral volume benda putar. Misal diketahui bahwa pertidaksamaan bola adalah x2 + y2 + z2 \leq r2. Kemudian kita mencari batas-batas untuk x, y dan z yaitu

z \leq \quad \sqrt{r^2-y^2-x^2}

-\sqrt{r^2-y^2-x^2} \leq z \leq \sqrt{r^2-y^2-x^2}

kemudian dengan memandang lingakaran (asumsikan z = 0), maka

-\sqrt{r^2-x^2} \leq y \leq \sqrt{r^2-x^2}

dan terakhir dengan memandang y = 0 dan z = 0, maka

-r \leq x \leq r

untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar dibawah ini. Baca lebih lanjut

Pembuktian Rumus Volume Bola


Pada tulisan ini akan mencoba memaparkan turunan Rumus Volume Bola, dengan mengambil ide dari tulisan sebelumnya yaitu Pembuktian Rumus Luas Lingkaran. Pada penurunan rumus luas tersebut yaitu dengan menggunakan integral luas dibawah kurva, sekarang kita akan menggunakan integral volume benda putar dari persamaan lingkaran. Seperti yang diketahui bahwa persamaan lingkaran dalam koordinat kartesius adalah x2 + y2 = r2 atau y = \sqrt{r^2-x^2}. Dengan memandang persamaan lingkaran pada sumbu-x dan sumbu-y positif saja sehingga lingkaran yang terbentuk adalah seperempat lingkaran atau jika diputar terhadap sumbu–x maka akan terbentuk setengah bola. Sehingga untuk mencari volumenya yaitu dengan cara mengintegralkan persamaan lingkaran dengan batas atas dan batas bawah masing-masing 0 dan r dan dikalikan 2 [karena terbentuk ½ bola]. Baca lebih lanjut