Apr 12 2012

Teknik Integral : Integral Substitusi


Di dalam banyak persoalan integral, ternyata tidak mudah diselesaikan hanya bermodalkan rumus-rumus dasar seperti pada bagian sebelum ini. Diperlukan teknik-teknik penanganan tertentu sesuai dengan bentuk persoalan integral yang dihadapi.

Ada 6 (enam) teknik pengintegralan yang akan ditinjau, yaitu: Integral Substitusi, Integral Parsial, Integral Fungsi Rasional, Integral Substitusi Trigonometri, Integral Melengkapi Bentuk Kuadrat, dan Integral Trigonometri. Tidak menutup kemungkinan suatu persoalan integral dapat dikerjakan dengan lebih dari satu teknik pengintegralan.

  1. Integral Substitusi

    Pengintegralan dengan substitusi didasarkan pada teorema berikut.

    Teorema 2

    Diketahui,

    (1). g suatu fungsi terdiferensial, dan

    (2). F anti turunan suatu fungsi f

    Jika u = g(x), maka :

    f(g(x))g'(x) dx = \int f(u)du = F(u) + C = F(g(x)) + C

    Bukti :

    Dari turunan rantai (Chains Rule) derivative, diperoleh :

    \frac{d}{dx} F(u) = \frac{d}{du} F(u) \frac{d}{dx} u

    = f(u) \frac{d}{dx} u (sebab F antiturunan f)

    = f(g(x)) \frac{d}{dx} g(x) (sebab u = g(x))

    = f(g(x))g'(x)

    Jadi f(g(x))g'(x) dx = F(u) + C = F(g(x)) + C \blacksquare

    Contoh :

    1. \int (4x + 7)2 dx = …

      Ambil substitusi u = 4x + 7 \Leftrightarrow \frac{du}{dx} = 4 \Leftrightarrow dx = \frac{du}{4} , maka

      \int (4x + 7)2 dx = \int \frac{du}{4}

      = \frac{1}{4} \int u2 du

      = \frac{1}{4} . \frac{1}{3}  u3 + C

      substitusi u = 4x + 7, sehingga diperoleh

      = \frac{1}{12} (4x + 7)3 + C

    2. \int sin(4x + 7) dx = …

      substitusi u = 4x + 7 \Leftrightarrow \frac{du}{dx} = 4 \Leftrightarrow dx = \frac{du}{4} , maka

      \int sin(4x + 7) dx = \int sin u \frac{du}{4}

      = \frac{1}{4} \int sin u du

      = -\frac{1}{4} cos u + C

      substitusi u = 4x + 7, sehingga diperoleh

      = -\frac{1}{4} cos (4x + 7) + C

      atau bisa juga dikerjakan seperti ini

      \int sin(4x + 7) dx = \int sin(4x + 7) \frac{d(4x+7)}{4}

      = \frac{1}{4} \int sin(4x + 7) d(4x + 7)

      = -\frac{1}{4} cos (4x + 7) + C

    3. \int \frac{2x}{(3x^2-1)^5} dx = …

      \int \frac{2x}{(3x^2-1)^5} dx = \int \frac{2x}{(3x^2-1)^5} \frac{1}{6x} d(3x3 – 1)

      = \frac{1}{3} \int (3x2 – 1)-5 d(3x2 – 1)

      = -\frac{1}{3} . \frac{1}{4} (3x2 – 1)-4 + C

      = -\frac{1}{12(3x^2-1)^4} + C

Tinggalkan komentar