Teknik Integral : Integral Substitusi


Di dalam banyak persoalan integral, ternyata tidak mudah diselesaikan hanya bermodalkan rumus-rumus dasar seperti pada bagian sebelum ini. Diperlukan teknik-teknik penanganan tertentu sesuai dengan bentuk persoalan integral yang dihadapi.

Ada 6 (enam) teknik pengintegralan yang akan ditinjau, yaitu: Integral Substitusi, Integral Parsial, Integral Fungsi Rasional, Integral Substitusi Trigonometri, Integral Melengkapi Bentuk Kuadrat, dan Integral Trigonometri. Tidak menutup kemungkinan suatu persoalan integral dapat dikerjakan dengan lebih dari satu teknik pengintegralan.

  1. Integral Substitusi

    Pengintegralan dengan substitusi didasarkan pada teorema berikut.

    Teorema 2

    Diketahui,

    (1). g suatu fungsi terdiferensial, dan

    (2). F anti turunan suatu fungsi f

    Jika u = g(x), maka :

    f(g(x))g'(x) dx = \int f(u)du = F(u) + C = F(g(x)) + C

    Bukti :

    Dari turunan rantai (Chains Rule) derivative, diperoleh :

    \frac{d}{dx} F(u) = \frac{d}{du} F(u) \frac{d}{dx} u

    = f(u) \frac{d}{dx} u (sebab F antiturunan f)

    = f(g(x)) \frac{d}{dx} g(x) (sebab u = g(x))

    = f(g(x))g'(x)

    Jadi f(g(x))g'(x) dx = F(u) + C = F(g(x)) + C \blacksquare

    Contoh :

    1. \int (4x + 7)2 dx = …

      Ambil substitusi u = 4x + 7 \Leftrightarrow \frac{du}{dx} = 4 \Leftrightarrow dx = \frac{du}{4} , maka

      \int (4x + 7)2 dx = \int \frac{du}{4}

      = \frac{1}{4} \int u2 du

      = \frac{1}{4} . \frac{1}{3}  u3 + C

      substitusi u = 4x + 7, sehingga diperoleh

      = \frac{1}{12} (4x + 7)3 + C

    2. \int sin(4x + 7) dx = …

      substitusi u = 4x + 7 \Leftrightarrow \frac{du}{dx} = 4 \Leftrightarrow dx = \frac{du}{4} , maka

      \int sin(4x + 7) dx = \int sin u \frac{du}{4}

      = \frac{1}{4} \int sin u du

      = -\frac{1}{4} cos u + C

      substitusi u = 4x + 7, sehingga diperoleh

      = -\frac{1}{4} cos (4x + 7) + C

      atau bisa juga dikerjakan seperti ini

      \int sin(4x + 7) dx = \int sin(4x + 7) \frac{d(4x+7)}{4}

      = \frac{1}{4} \int sin(4x + 7) d(4x + 7)

      = -\frac{1}{4} cos (4x + 7) + C

    3. \int \frac{2x}{(3x^2-1)^5} dx = …

      \int \frac{2x}{(3x^2-1)^5} dx = \int \frac{2x}{(3x^2-1)^5} \frac{1}{6x} d(3x3 – 1)

      = \frac{1}{3} \int (3x2 – 1)-5 d(3x2 – 1)

      -\frac{1}{3} . \frac{1}{4} (3x2 – 1)-4 + C

      = -\frac{1}{12(3x^2-1)^4} + C

Iklan

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s