Agu 30 2013

Persamaan Garis Singgung Lingkaran (2)


Tulisan ini merupakan sumbangan dari salah satu pengunjung blog yaitu mas Hendra Cipta dengan sedikit perubahan yang saya lakukan, tulisan aslinya lihat disini. Sebelumnya kalian juga bisa membaca tulisan yang sama dengan tulisan ini yaitu pada Persamaan Garis Singgung Lingkaran (1). Misal kita punya lingkaran dengan jari-jari r dan pusat (a, b) serta memiliki gradien m. Perhatikan gambar dibawah ini.

gambar menyusul

gambar diatas menjelaskan bahwa lingkaran tersebut melalui titik (x1, y1) disinggung oleh garis g dan tegak lurus ke pusat lingkaran. Seperti yang kita ketahui bahwa persamaan umum lingkaran dengan pusat (a, b) dan jar-jari r yaitu (x – a)2 + (y – b)2 = r2 dan misal garis g \equiv y = mx + n.

substitusi y = mx + n ke persamaan lingkaran L \equiv (x-a)^2+(y-b)^2=r^2, diperoleh :

(x-a)^2+((mx+n)-b)^2=r^2

x^2-2ax+a^2+m^2x^2+n^2+b^2+2mnx-2bmx-2bn-r^2=0

(1+m^2)x^2-2(a-mn+bm)x+(a^2+n^2+b^2-2bn-r^2)=0

nilai diskriminan persamaan kuadrat di atas adalah :

D=(2(a-mn+bm))^2-4(1+m^2)(a^2+n^2+b^2-2bn-r^2)

D=4(a-mn+bm)^2-4(1+m^2)(a^2+n^2+b^2-2bn-r^2)

karena garis menyinggung lingkaran, maka nilai diskriminan D = 0

D=b^2-4ac

4(a-mn+bm)^2-4(1+m^2)(a^2+n^2+b^2-2bn-r^2)=0

(a-mn+bm)^2-(1+m^2)(a^2+n^2+b^2-2bn-r^2=0

a^2+m^2n^2+b^2m^2-2amn+2abm-2bm^2n-a^2-n^2-b^2+2bn+r^2-a^2m^2-m^2n^2-b^2m^2+2bm^2n+m^2r^2=0

-2amn+2abm-n^2-b^2+2bn+r^2-a^2m^2+m^2r^2=0

2amn-2abm+n^2+b^2-2bn-r^2+a^2m^2-m^2r^2=0

(n^2+a^2m^2+b^2+2amn-2bn-2abm)-r^2(1+m^2)=0

(n+am-b)^2=r^2(1+m^2)

(n+am-b)= \pm r \sqrt{1+m^2}

n=(-am+b) \pm r \sqrt{1+m^2}

substitusi n=(-am+b) \pm r \sqrt{1+m^2} kepersamaan garis y = mx + n diperoleh:

y=mx+(-am+b) \pm r\sqrt{1+m^2}

y=mx-am+b \pm r \sqrt{1+m^2}

(y-b)=m(x-a) \pm r \sqrt{1+m^2}

Tinggalkan komentar