Jun 14 2015

Pembahasan Matematika UN SMA 2014/2015 (3)


1.  Persamaan grafik fungsi adalah …

 un_math_2015_21

A. y = ^3\log x

B. y = ^{3x}\log 3-x

C. y = ^3\log \dfrac{1}{x}

D. y = ^{3x}\log 3 -1

E. y = ^{\frac{3}{x}}\log \dfrac{1}{3} +1

Pembahasan

Pada grafik di atas, diperoleh

f(1) = 0

f(3) = 1

Kemudian kita substitusi nilai x ke fungsi pada pilihan gandanya, fungsi mana yang sesuai.

1.  f(1) = ^3\log x = ^3\log 1 = 0

f(3) = ^3\log 3 = 1

2.  f(1) = ^{3x}\log 3-x = ^{3}\log 3-1 =1-1=0

f(3) = ^{3.3}\log 3-3 = \dfrac{1}{3}-3 =-\dfrac{8}{3} (tidak sesuai)

3.  f(1) = ^3\log \dfrac{1}{x} = ^3\log \dfrac{1}{1} = 0

f(3) = ^3\log \dfrac{1}{3} = -1 (tidak sesuai)

4.  f(1) = ^{3x}\log 3 -1 = ^{3}\log 3 -1 = 1-1 = 0

f(3) = ^{3.3}\log 3 -1 = ^{9}\log 3 -1 = \dfrac{1}{3}-1 = -\dfrac{2}{3} (tidak sesuai)

5.  f(1) = ^{\frac{3}{x}}\log \dfrac{1}{3} +1 = ^{\frac{3}{1}}\log \dfrac{1}{3} +1 = -1+1 = 0

f(3) = ^{\frac{3}{3}}\log \dfrac{1}{3} +1 (tidak sesuai)

Berdasarkan hasil pengujian titik di atas, fungsi yang sesuai adalah y = ^3\log x

Jawaban : A

2.  Diketahui suku ke-3 dan ke-8 suatu deret aritmetika berturut-turut adalah 2 dan -13. Jumlah 20 suku pertama deret tersebut adalah …

A. -580

B. -490

C. -440

D. -410

E. -380

Pembahasan

Rumus suku ke-n : u_n = a+(n-1)b

u_3 = a+2b = 2

u_8 = a+7b = -13

   ———————-  –

   -5b = 15

   b=-3

Substitusi nilai b=-3 ke u_3, diperoleh

a+2(-3) = 2 \Rightarrow a=8

S_n =\dfrac{n}{2}(2a+(n-1)b)

S_{20}= \dfrac{20}{2}(2(8)+(20-1)(-3))

= 10(2(8)+(19)(-3))

= 10(16-57)

= 10(-41)

= -410

Jawaban : D

3.  Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 9 meter. Setiap memantul, bola mencapai ketinggian \dfrac{2}{3} dari tinggi sebelumnya. Panjang lintasan gerak bola sampai berhenti adalah …

A. 36 meter

B. 38 meter

C. 45 meter

D. 47 meter

E. 51 meter

Pembahasan

Karena bola memantul terus-terusan sampai berhenti, berarti ini termasuk deret geometri tak hingga. Untuk mencari panjang lintasan bola yang memantul ini, rumus yang digunakan adalah

Panjang lintasan = ketinggian bola jatuh + 2(kali deret tak hingga)

Dalam deret tak hingga ini, yang menjadi suku pertamanya adalah pantulan pertama (bukan ketinggian bola jatuh pada awal).

Pantulan pertama = 9 \times \dfrac{2}{3} = 6m (suku pertama)

S_\infty = \dfrac{a}{1-r}

   = \dfrac{6}{1-\dfrac{2}{3}}

   = \dfrac{6}{\dfrac{1}{3}} = 18

P.Lintasan = 9 + 2(18) = 45 meter

Jawaban : C

4.  Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Titik M adalah titik tengah AB. Jarak titik E ke CM adalah …

A. \dfrac{4}{5} \sqrt{30}~cm

B. \dfrac{2}{3} \sqrt{30}~cm

C. 2\sqrt{5}~cm

D. 2\sqrt{3}~cm

E. 2\sqrt{5}~cm

Pembahasan

Dalam menyelesaikan soal ini, akan digunakan bantuan segitiga EMC. Perhatikan.

EM = \sqrt{EA^2+AM^2}

= \sqrt{4^2+2^2}

= \sqrt{16+4}

= \sqrt{20} = 2\sqrt{5}

EM = MC = 2\sqrt{5}

Selanjutnya, dengan memperhatikan segitiga EMC dengan EC sebagai alas, diperoleh tinggi segitiga tersebut adalah

t = \sqrt{ MC^2- \left( \dfrac{1}{2}EC \right)^2}

\sqrt{ (2\sqrt{5})^2- \left( \dfrac{1}{2}4\sqrt{3} \right)^2}

= \sqrt{20-12}

= \sqrt{8} = 2\sqrt{2}

Selanjutnya, dengan memperhatikan segitiga EMC dengan MC sebagai alas, diperoleh

\dfrac{1}{2} \cdot EC \cdot t = \dfrac{1}{2} \cdot MC \cdot t'

\dfrac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{2} = \dfrac{1}{2} \cdot 2\sqrt{5} \cdot t'

8\sqrt{6} = 2\sqrt{5} \cdot t'

t' = \dfrac{8\sqrt{6}}{2\sqrt{5}}

= \dfrac{8\sqrt{30}}{10}

= \dfrac{4}{5} \sqrt{30}

Jawaban : A

5.  Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm, tangen sudut antara bidang DEG dengan bidang BEG adalah …

A. \dfrac{1}{3}

B. \dfrac{1}{3} \sqrt{3}

C. \dfrac{1}{2} \sqrt{3}

D. \dfrac{2}{3} \sqrt{2}

E. 2\sqrt{2}

Pembahasan

Pertama buat titik bantuan, yaitu titik P yang membagi dua garis BD, sehingga diperoleh segi tiga EPG. Jadi, cosinus sudut antara BDE dan BDG adalah \cos \angle EPG pada segi tiga EPG.

un_math_2015_25

Perhatikan

AP = \dfrac{1}{2} AC = \dfrac{1}{2} 8\sqrt{2} = 4\sqrt{2}

EP = \sqrt{AP^2 + AE^2}

= \sqrt{(4\sqrt{2})^2 + 8^2}

= \sqrt{32+64}

= \sqrt{96}

Dengan cara yang sama , diperoleh EP = GP = \sqrt{96}.

\cos \angle EPG = \dfrac{EP^2+GP^2-EG^2}{2 \cdot EP \cdot GP}

= \dfrac{(\sqrt{96})^2+(\sqrt{96})^2-(8\sqrt{2})^2}{2(\sqrt{96})(\sqrt{96})}

= \dfrac{96 + 96 -128}{2(96)}

= \dfrac{64}{192} = \dfrac{1}{3}

Jawaban : A

6.  Perhatikan gambar! Panjang AD adalahun_math_2015_26

A. 3\sqrt{7}

B. 4\sqrt{7}

C. 2\sqrt{17}

D. 2\sqrt{19}

E. 4\sqrt{17}

Pembahasan

\dfrac{\sin 30^0}{\sin 45^0} = \dfrac{6\sqrt{2}}{AC}

\dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{2} \sqrt{2}} = \dfrac{6\sqrt{2}}{AC}

\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{6\sqrt{2}}{AC}

AC = 12

AD^2 = AC^2 + CD^2 -2(AC)(CD) \cos 60^0

= 12^2 + 4^2 -2(12)(4) \dfrac{1}{2}

= 144 + 16 -48

= 112

AD = \sqrt{2.2.2.2.7} = 4\sqrt{7}

Jawaban : B

7.  Himpunan penyelesaian persamaan \cos 2x + 3 \cos x -1 = 0 pada 0^0 \leq x \leq 360^0 adalah …

A. \{ 60^0, 120^0 \}

B. \{ 60^0, 240^0 \}

C. \{ 60^0, 300^0 \}

D. \{ 120^0, 240^0 \}

E. \{ 120^0, 300^0 \}

Pembahasan

\cos 2x + 3 \cos x -1 = 0

\cos^2 x -\sin^2 x + 3 \cos x -1 = 0

2 \cos^2 x -1 + 3 \cos x -1= 0

2 \cos^2 x + 3 \cos x -2 = 0

(2 \cos x -1)(\cos x + 2)

\cos x = \dfrac{1}{2} atau \cos x = -2

untuk \cos x = \dfrac{1}{2}, diperoleh x = \{ 60^0, 300^0 \}. Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah \{ 60^0, 300^0 \}

Jawaban : C

8.  Diketahui \cos(A+B) = \dfrac{3}{5} dan \cos A \cdot \cos B = \dfrac{2}{3}, A dan B sudut lancip. Nilai \tan A \cdot \tan B adalah …

A. -\dfrac{3}{10}

B. -\dfrac{1}{5}

C. -\dfrac{2}{15}

D. \dfrac{1}{10}

E. \dfrac{3}{10}

Pembahasan

\cos(A+B) = \cos A \cdot \cos -\sin A \cdot \sin B

\dfrac{3}{5} = \dfrac{2}{3} -\sin A \cdot \sin B

\sin A \cdot \sin B = \dfrac{2}{3} -\dfrac{3}{5} = \dfrac{1}{15}

\tan A \cdot \tan B = \dfrac{\sin A \cdot \sin B}{\cos A \cdot \cos }

= \dfrac{\dfrac{1}{15}}{\dfrac{2}{3}}

= \dfrac{1}{15} \times \dfrac{3}{2} = \dfrac{1}{10}

Jawaban : D

9.  Nilai dari \lim_{x \to \infty} (\sqrt{9x^2-6x-1}-(3x+1)) = \ldots

A. -4

B. -3

C. -2

D. 0

E. 1

Pembahasan

\lim_{x \to \infty} \sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{ax^2+px+q} = \dfrac{b-p}{2\sqrt{a}}

\lim_{x \to \infty} (\sqrt{9x^2-6x-1}-(3x+1)) = \lim_{x \to \infty} (\sqrt{9x^2-6x-1}-\sqrt{(3x+1)^2})

= \lim_{x \to \infty} (\sqrt{9x^2-6x-1}-\sqrt{9x^2+6x+1})

= \dfrac{-6-6)}{2\sqrt{9}}

= \dfrac{-12}{6} = -2

Jawaban : C

10.Nilai dari \lim_{x \to 0} \dfrac{x \cdot \tan 2x}{\cos^2 x-1} = \ldots

A. 1

B. 0

C. -\dfrac{1}{2}

D. -1

E. -2

Pembahasan

\lim_{x \to 0} \dfrac{x \cdot \tan 2x}{\cos^2 x-1} = \lim_{x \to 0} \dfrac{x \cdot \tan 2x}{(1-\sin^2 x)-1}

= \lim_{x \to 0} \dfrac{x \cdot \tan 2x}{-\sin^2 x}

= \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{-\sin x} \dfrac{\tan 2x}{\sin x}

= -2

Jawaban : E

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan baik dalam soal maupun penyelesaian soal ini.

2 comments on “Pembahasan Matematika UN SMA 2014/2015 (3)”

  1. Kunjungi caramudahbelajarmatematika.com temukan artikel2 inspiratif seputar matematika di sana, ada aplikasi, ada pemodelan, ada psikotes matematika, dll buruan y ! 😀

    Balas

  2. Ping-balik: Aturan Kosinus | Math IS Beautiful

Tinggalkan komentar