Pembahasan Matematika UN SMA 2015 (3)


1.  Persamaan grafik fungsi adalah …

 un_math_2015_21

A. y = ^3\log x

B. y = ^{3x}\log 3-x

C. y = ^3\log \dfrac{1}{x}

D. y = ^{3x}\log 3 -1

E. y = ^{\frac{3}{x}}\log \dfrac{1}{3} +1

Pembahasan

Pada grafik di atas, diperoleh

f(1) = 0

f(3) = 1

Kemudian kita substitusi nilai x ke fungsi pada pilihan gandanya, fungsi mana yang sesuai.

1.  f(1) = ^3\log x = ^3\log 1 = 0

f(3) = ^3\log 3 = 1

2.  f(1) = ^{3x}\log 3-x = ^{3}\log 3-1 =1-1=0

f(3) = ^{3.3}\log 3-3 = \dfrac{1}{3}-3 =-\dfrac{8}{3} (tidak sesuai)

3.  f(1) = ^3\log \dfrac{1}{x} = ^3\log \dfrac{1}{1} = 0

f(3) = ^3\log \dfrac{1}{3} = -1 (tidak sesuai)

4.  f(1) = ^{3x}\log 3 -1 = ^{3}\log 3 -1 = 1-1 = 0

f(3) = ^{3.3}\log 3 -1 = ^{9}\log 3 -1 = \dfrac{1}{3}-1 = -\dfrac{2}{3} (tidak sesuai)

5.  f(1) = ^{\frac{3}{x}}\log \dfrac{1}{3} +1 = ^{\frac{3}{1}}\log \dfrac{1}{3} +1 = -1+1 = 0

f(3) = ^{\frac{3}{3}}\log \dfrac{1}{3} +1 (tidak sesuai)

Berdasarkan hasil pengujian titik di atas, fungsi yang sesuai adalah y = ^3\log x

Jawaban : A

2.  Diketahui suku ke-3 dan ke-8 suatu deret aritmetika berturut-turut adalah 2 dan -13. Jumlah 20 suku pertama deret tersebut adalah …

A. -580

B. -490

C. -440

D. -410

E. -380

Pembahasan

Rumus suku ke-n : u_n = a+(n-1)b

u_3 = a+2b = 2

u_8 = a+7b = -13

   ———————-  –

   -5b = 15

   b=-3

Substitusi nilai b=-3 ke u_3, diperoleh

a+2(-3) = 2 \Rightarrow a=8

S_n =\dfrac{n}{2}(2a+(n-1)b)

S_{20}= \dfrac{20}{2}(2(8)+(20-1)(-3))

= 10(2(8)+(19)(-3))

= 10(16-57)

= 10(-41)

= -410

Jawaban : D

3.  Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 9 meter. Setiap memantul, bola mencapai ketinggian \dfrac{2}{3} dari tinggi sebelumnya. Panjang lintasan gerak bola sampai berhenti adalah …

A. 36 meter

B. 38 meter

C. 45 meter

D. 47 meter

E. 51 meter

Pembahasan

Karena bola memantul terus-terusan sampai berhenti, berarti ini termasuk deret geometri tak hingga. Untuk mencari panjang lintasan bola yang memantul ini, rumus yang digunakan adalah

Panjang lintasan = ketinggian bola jatuh + 2(kali deret tak hingga)

Dalam deret tak hingga ini, yang menjadi suku pertamanya adalah pantulan pertama (bukan ketinggian bola jatuh pada awal).

Pantulan pertama = 9 \times \dfrac{2}{3} = 6m (suku pertama)

S_\infty = \dfrac{a}{1-r}

   = \dfrac{6}{1-\dfrac{2}{3}}

   = \dfrac{6}{\dfrac{1}{3}} = 18

P.Lintasan = 9 + 2(18) = 45 meter

Jawaban : C

4.  Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Titik M adalah titik tengah AB. Jarak titik E ke CM adalah …

A. \dfrac{4}{5} \sqrt{30}~cm

B. \dfrac{2}{3} \sqrt{30}~cm

C. 2\sqrt{5}~cm

D. 2\sqrt{3}~cm

E. 2\sqrt{5}~cm

Pembahasan

Dalam menyelesaikan soal ini, akan digunakan bantuan segitiga EMC. Perhatikan.

EM = \sqrt{EA^2+AM^2}

= \sqrt{4^2+2^2}

= \sqrt{16+4}

= \sqrt{20} = 2\sqrt{5}

EM = MC = 2\sqrt{5}

Selanjutnya, dengan memperhatikan segitiga EMC dengan EC sebagai alas, diperoleh tinggi segitiga tersebut adalah

t = \sqrt{ MC^2- \left( \dfrac{1}{2}EC \right)^2}

\sqrt{ (2\sqrt{5})^2- \left( \dfrac{1}{2}4\sqrt{3} \right)^2}

= \sqrt{20-12}

= \sqrt{8} = 2\sqrt{2}

Selanjutnya, dengan memperhatikan segitiga EMC dengan MC sebagai alas, diperoleh

\dfrac{1}{2} \cdot EC \cdot t = \dfrac{1}{2} \cdot MC \cdot t'

\dfrac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{2} = \dfrac{1}{2} \cdot 2\sqrt{5} \cdot t'

8\sqrt{6} = 2\sqrt{5} \cdot t'

t' = \dfrac{8\sqrt{6}}{2\sqrt{5}}

= \dfrac{8\sqrt{30}}{10}

= \dfrac{4}{5} \sqrt{30}

Jawaban : A

5.  Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm, tangen sudut antara bidang DEG dengan bidang BEG adalah …

A. \dfrac{1}{3}

B. \dfrac{1}{3} \sqrt{3}

C. \dfrac{1}{2} \sqrt{3}

D. \dfrac{2}{3} \sqrt{2}

E. 2\sqrt{2}

Pembahasan

Pertama buat titik bantuan, yaitu titik P yang membagi dua garis BD, sehingga diperoleh segi tiga EPG. Jadi, cosinus sudut antara BDE dan BDG adalah \cos \angle EPG pada segi tiga EPG.

un_math_2015_25

Perhatikan

AP = \dfrac{1}{2} AC = \dfrac{1}{2} 8\sqrt{2} = 4\sqrt{2}

EP = \sqrt{AP^2 + AE^2}

= \sqrt{(4\sqrt{2})^2 + 8^2}

= \sqrt{32+64}

= \sqrt{96}

Dengan cara yang sama , diperoleh EP = GP = \sqrt{96}.

\cos \angle EPG = \dfrac{EP^2+GP^2-EG^2}{2 \cdot EP \cdot GP}

= \dfrac{(\sqrt{96})^2+(\sqrt{96})^2-(8\sqrt{2})^2}{2(\sqrt{96})(\sqrt{96})}

= \dfrac{96 + 96 -128}{2(96)}

= \dfrac{64}{192} = \dfrac{1}{3}

Jawaban : A

6.  Perhatikan gambar! Panjang AD adalahun_math_2015_26

A. 3\sqrt{7}

B. 4\sqrt{7}

C. 2\sqrt{17}

D. 2\sqrt{19}

E. 4\sqrt{17}

Pembahasan

\dfrac{\sin 30^0}{\sin 45^0} = \dfrac{6\sqrt{2}}{AC}

\dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{2} \sqrt{2}} = \dfrac{6\sqrt{2}}{AC}

\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{6\sqrt{2}}{AC}

AC = 12

AD^2 = AC^2 + CD^2 -2(AC)(CD) \cos 60^0

= 12^2 + 4^2 -2(12)(4) \dfrac{1}{2}

= 144 + 16 -48

= 112

AD = \sqrt{2.2.2.2.7} = 4\sqrt{7}

Jawaban : B

7.  Himpunan penyelesaian persamaan \cos 2x + 3 \cos x -1 = 0 pada 0^0 \leq x \leq 360^0 adalah …

A. \{ 60^0, 120^0 \}

B. \{ 60^0, 240^0 \}

C. \{ 60^0, 300^0 \}

D. \{ 120^0, 240^0 \}

E. \{ 120^0, 300^0 \}

Pembahasan

\cos 2x + 3 \cos x -1 = 0

\cos^2 x -\sin^2 x + 3 \cos x -1 = 0

2 \cos^2 x -1 + 3 \cos x -1= 0

2 \cos^2 x + 3 \cos x -2 = 0

(2 \cos x -1)(\cos x + 2)

\cos x = \dfrac{1}{2} atau \cos x = -2

untuk \cos x = \dfrac{1}{2}, diperoleh x = \{ 60^0, 300^0 \}. Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah \{ 60^0, 300^0 \}

Jawaban : C

8.  Diketahui \cos(A+B) = \dfrac{3}{5} dan \cos A \cdot \cos B = \dfrac{2}{3}, A dan B sudut lancip. Nilai \tan A \cdot \tan B adalah …

A. -\dfrac{3}{10}

B. -\dfrac{1}{5}

C. -\dfrac{2}{15}

D. \dfrac{1}{10}

E. \dfrac{3}{10}

Pembahasan

\cos(A+B) = \cos A \cdot \cos -\sin A \cdot \sin B

\dfrac{3}{5} = \dfrac{2}{3} -\sin A \cdot \sin B

\sin A \cdot \sin B = \dfrac{2}{3} -\dfrac{3}{5} = \dfrac{1}{15}

\tan A \cdot \tan B = \dfrac{\sin A \cdot \sin B}{\cos A \cdot \cos }

= \dfrac{\dfrac{1}{15}}{\dfrac{2}{3}}

= \dfrac{1}{15} \times \dfrac{3}{2} = \dfrac{1}{10}

Jawaban : D

9.  Nilai dari \lim_{x \to \infty} (\sqrt{9x^2-6x-1}-(3x+1)) = \ldots

A. -4

B. -3

C. -2

D. 0

E. 1

Pembahasan

\lim_{x \to \infty} \sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{ax^2+px+q} = \dfrac{b-p}{2\sqrt{a}}

\lim_{x \to \infty} (\sqrt{9x^2-6x-1}-(3x+1)) = \lim_{x \to \infty} (\sqrt{9x^2-6x-1}-\sqrt{(3x+1)^2})

= \lim_{x \to \infty} (\sqrt{9x^2-6x-1}-\sqrt{9x^2+6x+1})

= \dfrac{-6-6)}{2\sqrt{9}}

= \dfrac{-12}{6} = -2

Jawaban : C

10.Nilai dari \lim_{x \to 0} \dfrac{x \cdot \tan 2x}{\cos^2 x-1} = \ldots

A. 1

B. 0

C. -\dfrac{1}{2}

D. -1

E. -2

Pembahasan

\lim_{x \to 0} \dfrac{x \cdot \tan 2x}{\cos^2 x-1} = \lim_{x \to 0} \dfrac{x \cdot \tan 2x}{(1-\sin^2 x)-1}

= \lim_{x \to 0} \dfrac{x \cdot \tan 2x}{-\sin^2 x}

= \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{-\sin x} \dfrac{\tan 2x}{\sin x}

= -2

Jawaban : E

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan baik dalam soal maupun penyelesaian soal ini.

Kalian lagi persiapan untuk Ujian Nasional? Kalian tidak harus ikut bimbingan belajar, bisa belajar lewat video. Check it out ke Quipper Video

Iklan

2 comments on “Pembahasan Matematika UN SMA 2015 (3)

  1. Kunjungi caramudahbelajarmatematika.com temukan artikel2 inspiratif seputar matematika di sana, ada aplikasi, ada pemodelan, ada psikotes matematika, dll buruan y ! 😀

  2. Ping-balik: Aturan Kosinus | Math IS Beautiful

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s