Jan 21 2016

Grup Siklik


Misalkan G grup dan H subgrup G. Jika a \in H maka a^2=aa \in H, a^3=aaa \in H, …, a^n \in H dan a^{-1} \in H, a^{-2}=a^{-1}a^{-1} \in H, …, a^{-n} \in H. Dengan demikian suatu subgrup yang memuat a haruslah memuat a^n untuk setiap n \in \mathbb{Z}. Hal ini mendasari terbentuknya grup siklik. Sebelum lebih jauh, perhatikan teorema berikut ini.

Teorema 1.

Diberikan G grup dan a \in G. Maka H = \{ a^n ~|~ n \in \mathbb{Z} \} merupakan subgrup G dan H adalah subgrup terkecil yang memuat a.

Bukti.

Ambil sebarang a^s,a^t \in H untuk suatu s,t \in \mathbb{Z}, berakibat a^s a^t = a^{s+t}. Karena s,t \in \mathbb{Z}, berakibat s+t \in \mathbb{Z}. Sehingga a^s a^t \in \mathbb{Z}. Jadi, H tertutup terhadap perkalian. Selanjutnya, akan dicari elemen identitas a^n \in H sedemikian hingga a^s a^n = a^n a^s = a^s untuk sebarang a^s. Perhatikan a^s a^n = a^{s+n} = a^s, diperoleh s+n=s, berakibat n=0. Dengan cara yang sama untuk a^n a^s = a^s diperoleh a^n = a^0. Jadi, a^0 merupakan identitas di H. Selanjutnya akan ditunjukkan a^b merupakan elemen invers di H sedemikian hingga a^s a^b = a^b a^s = a^0. Dengan cara yang sama seperti mencari elemen identitas, diperoleh a^b = a^{-s}. Jadi, a^{-s} merupakan elemen invers untuk a^s. Jadi, H merupakan subgrup G.

Ambil sebarang subgrup lain yang memuat a, sebut H'. Akan ditunjukkan H' memuat H. Karena H' merupakan subgrup yang memuat a, berakibat a^n \in H' untuk setiap n \in \mathbb{Z} karena sifat ketertutupan H'. Jadi H' memuat H. \blacksquare

Contoh 2.

Misal diberikan grup \mathbb{Z}. Pilih a = 2, diperoleh

H = \{2, 2+2, 2+2+2, \ldots, 2+2+\ldots+2 \} = 2\mathbb{Z}.

Jadi, 2\mathbb{Z} merupakan subgrup terkecil yang memuat 2.

Misal dipilih a = 4, diperoleh

H = \{4, 4+4, 4+4+4, \ldots, 4+4+\ldots+4 \} = 4\mathbb{Z}.

Jika diperhatikan subgrup 2\mathbb{Z}, jelas bahwa 2\mathbb{Z} memuat 4 dan 2\mathbb{Z} memuat 4\mathbb{Z} atau 4\mathbb{Z} \subseteq 2\mathbb{Z}. Jadi, 4\mathbb{Z} merupakan subgrup terkecil yang memuat 4. \square

Definisi 3.

Suatu grup G disebut grup siklik jika terdapat a \in G sedemikian hingga G = \{ a^n ~|~ n \in \mathbb{Z} \}. Selanjutnya G = \{ a^n ~|~ n \in \mathbb{Z} \} disimbolkan dengan \langle a \rangle dan elemen a disebut pembangun (generator) G.

Misalkan G adalah grup siklik yang dibangun oleh a. Grup G berorde hingga jika terdapat n bilangan bulat positif terkecil sedemikian hingga a^n = e dan jika tidak ada kecuali e, maka kita mengatakan orde G tak berhingga.

Contoh 4.

Diberikan G = \{1, -1, i, -i\} dengan i = \sqrt{-1} yang selengkapnya didefinisikan sebagai berikut.

*

1

-1

i

-i

1

1

-1

i

-i

-1

-1

1

-i

i

i

i

-i

-1

i

-i

-i

i

1

-1

Maka G merupakan grup siklik dengan generator i dan -i, sebab : i^2 = -1, i^3 = -i, i^4 = 1 dan (-i)^2 = -1, i^3 = i, i^4 = 1. \square

Contoh 5.

Misalkan \mathbb{Z}_4 = \{0, 1, 2, 3\} adalah grup terhadap penjumlahan yaitu (\mathbb{Z}_4, +_4). Apakah \mathbb{Z}_4 grup siklik ? Jika iya, tentukan pembangun dari grup tersebut.

Penyelesaian.

Perhatikan,

\{ n(0) ~|~ n \in \mathbb{Z} \} = \{0\}.

\{ n(1) ~|~ n \in \mathbb{Z} \} = \{ 1 \cdot 1, 2 \cdot 1, 3 \cdot 1, 4 \cdot 1, \ldots \}

= \{1, 2, 3, \ldots \}

= \mathbb{Z}_4.

\{ n(2) ~|~ n \in \mathbb{Z} \} = \{ 1 \cdot 2, 2 \cdot 2, 3 \cdot 2, \ldots \}

= \{0, 2, 0, \ldots \}.

\{ n(3) ~|~ n \in \mathbb{Z} \} = \{ 1 \cdot 3, 2 \cdot 3, 3 \cdot 3, \ldots \}

= \{ 3, 2, 1, 0, \ldots \}

= \mathbb{Z}_4.

Jadi, terdapat 1 dan 3 sedemikian hingga \mathbb{Z}_4 = 1^4 dan \mathbb{Z}_4 = 3^4. Sehingga 1 dan 3 merupakan pembangun grup siklik \mathbb{Z}_4. \square

Contoh 6.

Buktikan bahwa (\mathbb{Q},+) tidak siklik.

Andaikan (\mathbb{Q},+) siklik, maka dapat ditulis sebagai \mathbb{Q}= \langle \dfrac{p}{q} \rangle untuk suatu \dfrac{p}{q} \in \mathbb{Q} dengan p dan q relatif prima. Karena \dfrac{p}{2q} \in \mathbb{Q} dan \mathbb{Q} siklik, maka terdapat n \in \mathbb{Z}, n \neq 0 sedemikian hingga \dfrac{p}{2q} = n\dfrac{p}{q}. Berakibat \dfrac{1}{2} = n \in \mathbb{Z}. Hal ini kontradiksi. Jadi haruslah \mathbb{Q} tidak siklik. \square

2 comments on “Grup Siklik”

  1. Ping-balik: Sifat-Sifat Grup Siklik | Math IS Beautiful

  2. Ping-balik: Isomorfisma Grup | Math IS Beautiful

Tinggalkan komentar