Aturan Sinus

Misal diberikan segitiga sembarang. Jika diketahui besar sudut-sudut segitiga tersebut dan diketahui pula salah satu panjang sisi segitiga, bagaimana mencari panjang sisi yang lainnya? Inilah kegunaan Aturan Sinus. Dalam menyelesaikan permasalahan tersebut, akan dianfaatkan Aturan Sinus. Berikut
bunyi teorema Aturan Sinus.

“Diberikan segitiga sebarang dengan panjang sisinya adalah , , dan , yang masing-masing terletak terletak di depan sudut , dan , maka

”

Untuk membuktikan teorema tersebut, akan digunakan dua jenis segitiga, yaitu segitiga lancip dan segitiga tumpul.

Sudut Istimewa

Tulisan ini terilhami ketika lagi mengerjakan soal trigonometri, waktu itu melihat nilai , , dan pada tabel sudut-sudut istimewa, kemudian terpikir bagaimana cara mendapatkan nilai-nilai tersebut tanpa melihat tabel. Nah, pada tulisan ini saya akan mencoba untuk menurunkan darimana dapat nilai-nilai tersebut. Perhatikan segitiga siku-siku sama kaki berikut.

Sebelum lebih jauh, dalam tulisan ini kita gunakan rumus-rumus di bawah ini.

Karena segitiganya adalah segitiga siku-siku sama kaki, maka diperoleh bahwa besar sudut sama dengan besar sudut , yaitu sebesar . Misal panjang sisi , dengan menggunakan Pythagoras, diperoleh panjang . Oleh karena itu, didapat

x + tan x = 1

Kasus trigonometri yang satu ini bagi saya cukup menarik, dimana x + tan x = 1, perlu diingat bahwa x disini dalam bentuk radian (bukan derajat).

Buktikan terdapat x (0, 1) sehingga x + tan x = 1

Bagaimana cara membuktikannya ? Disini saya akan menggunakan sedikit trik (ide) untuk mempermudah pengerjaan. Mari perhatikan,

didefinisikan f : [0, 1] dengan f(x) = (x – 1) sin x

f(0) = 0 = f(1)

f terdefinisi pada [0, 1]

f'(x) ada untuk setiap x (0, 1), dengan

f'(x) = sin x + (x – 1) cos x

terdapat c (0, 1) sehingga f'(c) = 0, yaitu

sin c + (c – 1) cos c = 0

kalikan kedua ruas dengan 1/cos c

tan c + (c – 1) = 0

c + tan c = 1

Bagaimana ? Menarik bukan ?

Jika ada yang punya ide lain, silahkan di share, karena jalan pembuktiannya tidak tunggal. Kalau kata orang bijak “banyak jalan menuju Roma”

Berapa cos 18 derajat ?

Melanjutkan dari tulisan sebelumnya yaitu bagaimana mencari sin 18⁰, sekarang pada tulisan ini mencoba untuk mencari nilai dari cos 18⁰. Dalam mencari nilai ini dibutuhkan sedikit manipulasi aljabar dengan memanfaatkan sifat-sifat dasar trigonometri.

misal 18⁰ = x, maka

cos 90⁰ = cos 5x

= cos (4x + x)

= cos 4x cos x – sin 4x sin x

Penurunan Rumus tan(a + b) dan tan (a – b)

Tulisan ini adalah lanjutan dari tulisan sebelumnya tentang sifat trigonometri sin(a + b) dan sin(a – b) dengan cos(a + b) dan cos(a – b). Tulisan kali ini yaitu tentang membuktikan sifat tan(a + b) = dan tan(a – b) = .

sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b … (i)

cos (a + b) = cos a cos b – sin a sin b … (ii)

sin 18 derajat ?

Untuk menghitung nilai sinus dari sudut istimewa sepertinya mudah dan pasti kita sudah banyak yang hafal. Sudut istimewa yang dimaksud disini seperti 0⁰, 30⁰, 45⁰, 60⁰, 90⁰, dll. Tapi walaupun sudutnya tidak istimewa, bisa juga dengan sedikit manipulasi dan menggunakan Sifat Dasar Trigonometri. Misalnya sin 15⁰ = sin (60⁰ – 45⁰), sin 75⁰ = sin (45⁰ + 30⁰) atau sin 105⁰ = sin (65⁰ + 45⁰). Tapi bagaimana dengan sin 18⁰ ? Ok, untuk sudut ini saya memiliki ide untuk menghitung nilai sin tersebut dengan cara seperti yang saya akan uraikan dibawah ini.

Pembuktian Rumus Trigonometri cos(a + b) dan cos(a – b)

Tulisan ini adalah lanjutan dari tulisan sebelumnya dari pembuktian sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b dan sin (a – b) = sin a cos b – cos a sin b. Sekarang mencoba membuktikan rumus dari cos (a + b). Perhatikan gambar dibawah ini.

cos a =

sin b =

dengan a + b + 90⁰ = 180⁰

b = 90⁰ – a

sehingga sin (90⁰ – a) =

jadi sin (90⁰ – a) = sin b = cos a

Bukti Rumus Trigonometri sin(a + b) dan sin(a – b)

Tulisan kali ini mencoba untuk membuktikan salah satu Sifat Dasar Trigonometri yaitu sin ( + ) = sin cos + cos sin . Pembuktian yang saya lakukan pada tulisan ini yaitu melalui ilustrasi segitiga dengan memanfaatkan Rumus Luas Segitiga dan trigonometri dasar pada segitiga. Perhatikan gambar dibawah ini