Okt 5 2012

Garis Tinggi pada Segitiga


Setelah pada postingan sebelumnya yaitu mencari luas segitiga sembarang yang tanpa diketahui tinggi segitiga dengan menggunakan Formula Heron. Pada tulisan ini saya akan mencoba menurunkan rumus untuk mencari tinggi segitiga pada segitiga sembarang ketika hanya diketahui ketiga sisinya atau hanya diketahui keliling segitiga dan panjang sisi alasny. Atau secara umum dikenal dengan nama Garis Tinggi. Penurunan rumus Garis Tinggi pada tulisan ini mirip dengan penurunan rumus Formula Heron. Penurunan rumus ini saya peroleh dari teman di FaceBook yaitu Lutfi Creativesys. Perhatikan gambar segitiga ABC dibawah ini.

Photobucket

Misal dalam segitiga diatas, melalui titik A kita buat tinggi segitiga sedemikian sehingga tingginya yaitu AD, sehingga segitiga ABC kita pandang sebagai dua segitiga siku-siku yaitu ABD dan ACD. Dengan memanfaatkan Rumus Pythagoras, diperoleh tinggi segitiga yaitu

AD2 = AB2 – BD2

t2 = a2 – x2 … (i)

AD2 = AC2 – CD2

t2 = b2 – y2 … (ii)

c = y + x … (iii)

kemudian dari (i) dan (ii) diperoleh hubungan dari kedua persamaan, yaitu

b2 – y2 = a2 – x2

x2 = a2 – b2 + y2

= a2 – b2 + y2 [substitusi (iii)]

= a2 – b2 + (c – x)2

= a2 – b2 + c2 – 2cx + x2

2cx = a2 – b2 + c2

x = \frac{a^2-b^2+c^2}{2c}

misal substitusi ke persamaan (i) diperoleh :

t2 = a2 – x2

= a^2-\left( \dfrac{a^2-b^2+c^2}{2c} \right)^2

= \left( a-\dfrac{a^2-b^2+c^2}{2c} \right) \left( a+\dfrac{a^2-b^2+c^2}{2c} \right)

= \left( \dfrac{2ac}{2c}-\dfrac{a^2-b^2+c^2}{2c} \right) \left( \dfrac{2ac}{2c} + \dfrac{a^2-b^2+c^2}{2c} \right)

= \left( \dfrac{2ac-a^2+b^2-c^2}{2c} \right) \left( \dfrac{2ac+a^2-b^2+c^2}{2c} \right)

= \left( \dfrac{-(a^2+c^2-2ac)+b^2}{2c} \right) \left( \dfrac{(a^2+c^2+2ac)-b^2}{2c} \right)

= \left( \dfrac{-(a-c)^2+b^2}{2c} \right) \left( \dfrac{(a+c)^2-b^2}{2c} \right)

= \left( \dfrac{(b+(a-c))(b-(a-c))}{2c} \right) \left( \dfrac{((a+c)+b)((a+c)-b)}{2c} \right)

= \dfrac{(a+b-c)(-a+b+c)(a+b+c)(a-b+c)}{(2c)^2}

t = \sqrt{\frac{(a+b-c)(a-b+c)(a+b+c)(b+c-a)}{(2c)^2}}

dari persamaan diatas kita dapat mencari tinggi jika diketahui panjang sisi-sisinya. Ada yang bertanya, apa ada rumus yang lebih sederhana ? Ok, sekarang coba kita lanjutkan turunkan persamaan terakhir diatas.

t = \sqrt{\frac{(a+b-c)(a-b+c)(b+c+a)(b+c-a)}{(2c)^2}}

= \sqrt{\frac{(a+b-c+2c-2c)(a-b+c+2b-2b)(b+c+a)(b+c-a+2a-2a)}{(2c)^2}}

= \sqrt{\frac{(a+b+c-2c)(a+b+c-2b)(b+c+a)(b+c+a-2a)}{(2c)^2}}

[NOTE :2s = a + b + c]

= \sqrt{\frac{(2s-2c)(2s-2b)(2s)(2s-2a)}{(2c)^2}}

= \sqrt{\frac{2(s-c)2(s-b)2(s)2(s-a)}{(2c)^2}}

= \sqrt{\frac{16(s-c)(s-b)(s)(s-a)}{(2c)^2}}

= \frac{2}{c} \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

4 comments on “Garis Tinggi pada Segitiga”

Tinggalkan komentar