Okt 13 2012

Pembuktian Rumus Volume Bola


Pada tulisan ini akan mencoba memaparkan turunan Rumus Volume Bola, dengan mengambil ide dari tulisan sebelumnya yaitu Pembuktian Rumus Luas Lingkaran. Pada penurunan rumus luas tersebut yaitu dengan menggunakan integral luas dibawah kurva, sekarang kita akan menggunakan integral volume benda putar dari persamaan lingkaran. Seperti yang diketahui bahwa persamaan lingkaran dalam koordinat kartesius adalah x2 + y2 = r2 atau y = \sqrt{r^2-x^2}. Dengan memandang persamaan lingkaran pada sumbu-x dan sumbu-y positif saja sehingga lingkaran yang terbentuk adalah seperempat lingkaran atau jika diputar terhadap sumbu–x maka akan terbentuk setengah bola. Sehingga untuk mencari volumenya yaitu dengan cara mengintegralkan persamaan lingkaran dengan batas atas dan batas bawah masing-masing 0 dan r dan dikalikan 2 [karena terbentuk ½ bola].

Photobucket

Volume = 2 \pi \int_0^r y2 dx

= 2 \pi \int_0^r (\sqrt{r^2-x^2})^2 dx

= 2 \pi \int_0^r (r2 – x2) dx

= 2 \pi \int_0^r r2 – (r.sin \theta)2 dx

= 2 \pi \int_0^r r2 – r2.sin2 \theta dx

= 2 \pi \int_0^r r2(1 – sin2 \theta dx

= 2 \pi \int_0^r r2.cos2 \theta dx

karena sin \theta = \frac{x}{r} , berakibat x = r.sin \theta, turunkan kedua ruas maka dx = r.cos \theta d\theta, substitusi dx, sehingga diperoleh.

= 2 \pi \int_0^r r2.cos2 \theta (r.cos \theta d\theta)

= 2r3 \pi \int_0^r cos2 \theta cos \theta d\theta

= 2r3 \pi \int_0^r (1 – sin2 \theta) (cos \theta d\theta)

misal u = sin \theta maka du = cos \theta d\theta, substitusi sehingga diperoleh

= 2r3 \pi \int_0^r (1 – u2) du

= 2\pir3 (u – \frac{1}{3} u3) \mid_0^r

substitusi u = sin \theta, diperoleh

= 2\pir3 (sin \theta – \frac{1}{3} sin3 \theta) \mid_0^r

substitusi sin \theta = \frac{x}{r}

= 2\pir3 (\frac{x}{r} – \frac{1}{3} (\frac{x}{r})^3 ) \mid_0^r

= 2\pir3 [(\frac{r}{r} – \frac{1}{3} \frac{r^3}{r^3} ) – [(\frac{0}{r} – \frac{1}{3} \frac{0^3}{r^3} )]

= 2\pir3 [(1 – \frac{1}{3}) – (0 – 0)]

= 2\pir3\frac{2}{3}

= \frac{4}{3}\pir3

2 comments on “Pembuktian Rumus Volume Bola”

  1. Ping-balik: Volume Bola dengan Integral Lipat Tiga | Math IS Beautiful

Tinggalkan komentar