Pembuktian Rumus Volume Bola

Pada tulisan ini akan mencoba memaparkan turunan Rumus Volume Bola, dengan mengambil ide dari tulisan sebelumnya yaitu Pembuktian Rumus Luas Lingkaran. Pada penurunan rumus luas tersebut yaitu dengan menggunakan integral luas dibawah kurva, sekarang kita akan menggunakan integral volume benda putar dari persamaan lingkaran. Seperti yang diketahui bahwa persamaan lingkaran dalam koordinat kartesius adalah x² + y² = r² atau y = $\sqrt{r^2-x^2}$ . Dengan memandang persamaan lingkaran pada sumbu-x dan sumbu-y positif saja sehingga lingkaran yang terbentuk adalah seperempat lingkaran atau jika diputar terhadap sumbu–x maka akan terbentuk setengah bola. Sehingga untuk mencari volumenya yaitu dengan cara mengintegralkan persamaan lingkaran dengan batas atas dan batas bawah masing-masing 0 dan r dan dikalikan 2 [karena terbentuk ½ bola].

Volume = 2 $\pi$ $\int_0^r$ y² dx

= 2 $\pi$ $\int_0^r$ $(\sqrt{r^2-x^2})^2$ dx

= 2 $\pi$ $\int_0^r$ (r² – x²) dx

= 2 $\pi$ $\int_0^r$ r² – (r.sin $\theta$ )² dx

= 2 $\pi$ $\int_0^r$ r² – r².sin² $\theta$ dx

= 2 $\pi$ $\int_0^r$ r²(1 – sin² $\theta$ dx

= 2 $\pi$ $\int_0^r$ r².cos² $\theta$ dx

karena sin $\theta$ = $\frac{x}{r}$ , berakibat x = r.sin $\theta$ , turunkan kedua ruas maka dx = r.cos $\theta$ d $\theta$ , substitusi dx, sehingga diperoleh.

= 2 $\pi$ $\int_0^r$ r².cos² $\theta$ (r.cos $\theta$ d $\theta$ )

= 2r³ $\pi$ $\int_0^r$ cos² $\theta$ cos $\theta$ d $\theta$

= 2r³ $\pi$ $\int_0^r$ (1 – sin² $\theta$ ) (cos $\theta$ d $\theta$ )

misal u = sin $\theta$ maka du = cos $\theta$ d $\theta$ , substitusi sehingga diperoleh

= 2r³ $\pi$ $\int_0^r$ (1 – u²) du

= 2 $\pi$ r³ (u – $\frac{1}{3}$ u³) $\mid_0^r$

substitusi u = sin $\theta$ , diperoleh

= 2 $\pi$ r³ (sin $\theta$ – $\frac{1}{3}$ sin³ $\theta$ ) $\mid_0^r$

substitusi sin $\theta$ = $\frac{x}{r}$

= 2 $\pi$ r³ ( $\frac{x}{r}$ – $\frac{1}{3} (\frac{x}{r})^3$ ) $\mid_0^r$

= 2 $\pi$ r³ [( $\frac{r}{r}$ – $\frac{1}{3} \frac{r^3}{r^3}$ ) – [( $\frac{0}{r}$ – $\frac{1}{3} \frac{0^3}{r^3}$ )]

= 2 $\pi$ r³ [(1 – $\frac{1}{3}$ ) – (0 – 0)]

= 2 $\pi$ r³ $\frac{2}{3}$

= $\frac{4}{3}$ $\pi$ r³

2 comments on “Pembuktian Rumus Volume Bola”

Ping-balik: Volume Bola dengan Integral Lipat Tiga | Math IS Beautiful
anonimus

Agustus 29, 2013 @ 5:42 am

GREAT JOB, SEMOGA SUKSES

Balas

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

Ketikkan komentar di sini...

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Email (wajib) (Alamat takkan pernah dipublikasikan)

Nama (wajib)

Situs Web

You are commenting using your WordPress.com account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Google account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Twitter account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Facebook account. ( Logout / Ubah )

Batal

Connecting to %s

	Ricky pada Metode Regula Falsi (Regula Fa…
	Kudirah pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	CHYKA NADYA pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Reynold pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	marisa pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Ikha pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Bagus pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Medina Ranuivy pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Medina Ranuivy pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Angga Pranata pada Pembahasan Soal Latihan SNMPTN…

Share this:

Menyukai ini:

Terkait

2 comments on “Pembuktian Rumus Volume Bola”

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan