Pembuktian Rumus Volume Bola

Pada tulisan ini akan mencoba memaparkan turunan Rumus Volume Bola, dengan mengambil ide dari tulisan sebelumnya yaitu Pembuktian Rumus Luas Lingkaran. Pada penurunan rumus luas tersebut yaitu dengan menggunakan integral luas dibawah kurva, sekarang kita akan menggunakan integral volume benda putar dari persamaan lingkaran. Seperti yang diketahui bahwa persamaan lingkaran dalam koordinat kartesius adalah x² + y² = r² atau y = $\sqrt{r^2-x^2}$ . Dengan memandang persamaan lingkaran pada sumbu-x dan sumbu-y positif saja sehingga lingkaran yang terbentuk adalah seperempat lingkaran atau jika diputar terhadap sumbu–x maka akan terbentuk setengah bola. Sehingga untuk mencari volumenya yaitu dengan cara mengintegralkan persamaan lingkaran dengan batas atas dan batas bawah masing-masing 0 dan r dan dikalikan 2 [karena terbentuk ½ bola].

Volume = 2 $\pi$ $\int_0^r$ y² dx

= 2 $\pi$ $\int_0^r$ $(\sqrt{r^2-x^2})^2$ dx

= 2 $\pi$ $\int_0^r$ (r² – x²) dx

= 2 $\pi$ $\int_0^r$ r² – (r.sin $\theta$ )² dx

= 2 $\pi$ $\int_0^r$ r² – r².sin² $\theta$ dx

= 2 $\pi$ $\int_0^r$ r²(1 – sin² $\theta$ dx

= 2 $\pi$ $\int_0^r$ r².cos² $\theta$ dx

karena sin $\theta$ = $\frac{x}{r}$ , berakibat x = r.sin $\theta$ , turunkan kedua ruas maka dx = r.cos $\theta$ d $\theta$ , substitusi dx, sehingga diperoleh.

= 2 $\pi$ $\int_0^r$ r².cos² $\theta$ (r.cos $\theta$ d $\theta$ )

= 2r³ $\pi$ $\int_0^r$ cos² $\theta$ cos $\theta$ d $\theta$

= 2r³ $\pi$ $\int_0^r$ (1 – sin² $\theta$ ) (cos $\theta$ d $\theta$ )

misal u = sin $\theta$ maka du = cos $\theta$ d $\theta$ , substitusi sehingga diperoleh

= 2r³ $\pi$ $\int_0^r$ (1 – u²) du

= 2 $\pi$ r³ (u – $\frac{1}{3}$ u³) $\mid_0^r$

substitusi u = sin $\theta$ , diperoleh

= 2 $\pi$ r³ (sin $\theta$ – $\frac{1}{3}$ sin³ $\theta$ ) $\mid_0^r$

substitusi sin $\theta$ = $\frac{x}{r}$

= 2 $\pi$ r³ ( $\frac{x}{r}$ – $\frac{1}{3} (\frac{x}{r})^3$ ) $\mid_0^r$

= 2 $\pi$ r³ [( $\frac{r}{r}$ – $\frac{1}{3} \frac{r^3}{r^3}$ ) – [( $\frac{0}{r}$ – $\frac{1}{3} \frac{0^3}{r^3}$ )]

= 2 $\pi$ r³ [(1 – $\frac{1}{3}$ ) – (0 – 0)]

= 2 $\pi$ r³ $\frac{2}{3}$

= $\frac{4}{3}$ $\pi$ r³

2 comments on “Pembuktian Rumus Volume Bola”

Ping-balik: Volume Bola dengan Integral Lipat Tiga | Math IS Beautiful
anonimus

Agustus 29, 2013 @ 5:42 am

GREAT JOB, SEMOGA SUKSES

Balas

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

Ketikkan komentar di sini...

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Email (wajib) (Alamat takkan pernah dipublikasikan)

Nama (wajib)

Situs web

You are commenting using your WordPress.com account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Google account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Twitter account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Facebook account. ( Logout / Ubah )

Batal

Connecting to %s

	Apent pada Penyelesaian Persamaan Diferen…
	Chessa pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Riani pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Putry pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	nana pada Metode Bagi-Dua (Bisection…
	Trinita Nadiya Hasan pada Jasa Jawab Soal
	Inoe pada Luas Segiempat Sembarang
	Sidiq pada Jasa Jawab Soal
	yolanfa chelsea sals… pada Soal dan Pembahasan SNMPTN Mat…
	Rita pada Tanya Jawab MATEMATIKA

Share this:

Menyukai ini:

Terkait

2 comments on “Pembuktian Rumus Volume Bola”

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan